|
Пятиугольник $%ABCDE$% описан около окружности, $%AB=BC,AE=DE,CD=7,AC=8,AD=9 $%. Найти радиус окружности и величину угла $%BAE$%. задан 29 Окт '14 21:23 
rumotameru |
|
Пусть $%O$% -- центр вписанной окружности, а $%r$% -- её радиус. Основное наблюдение состоит в том, что $%O$% будет также центром окружности, описанной около $%ACD$%. Действительно, из $%AB=AC$% легко следует $%OA=OC$%, а из $%AE=DE$% следует $%OA=OD$%. Из сравнения длин отрезков касательных видно, что $%KC=KD=\frac72$%, где $%K$% -- точка касания окружности с отрезком $%CD$%. Из сравнения величин вписанных и центральных углов (для вспомогательной окружности, описанной около $%ACD$%) следует, что величина угла $%KOC$% равна величине угла $%DAC$%. Но нам известны все длины сторон этого треугольника, и по теореме косинусов мы можем найти косинус этого угла. Он равен $%\frac23$%, поэтому стороны прямоугольного треугольника $%KOC$% относятся как $%3:\sqrt5:2$%. Зная, что $%KC=\frac72$%, находим $%r=OK=\frac7{\sqrt5}$%. Из тех же соображений находим угол $%BAE$%. Он равен удвоенному углу при вершине такого же прямоугольного треугольника, синус которого равен $%\frac23$%, то есть сам угол равен $%2\arcsin\frac23$%. отвечен 30 Окт '14 17:39 
falcao Большое спасибо... Я уже давно пытаюсь решить, но не знал с чего даже начать.
(30 Окт '14 18:13)
rumotameru
Я пытался как-то через площади треугольников (по Герону), из которых состоит фигура и равенство некоторых отрезков найти радуис, но решить я не смог.
(30 Окт '14 18:16)
rumotameru
@rumotameru: у меня первоначальный способ был совершенно "диким". Я выражал через $%r$% тангенсы трёх углов (половин углов 5-угольника, из которых три угла одинаковые). В сумме эти углы дают нечто известное, на основании чего было составлено уравнение. Я почему-то эту задачу самого начала посчитал сложной и требующей вычислений, поэтому главное наблюдение от меня в тот момент ускользнуло. А обнаружено оно было так: я знал численный ответ, и по дороге на работу устно сосчитал косинус угла (просто от нечего делать). Я не знал, что там будет 2/3. После этого стало ясно, откуда взялся $%\sqrt5$%.
(30 Окт '14 18:24)
falcao
@falcao: если заметить основное, что О-центр описанной, то остальное легко, более-менее находится... А вот догадаться до этого сложно, если изначально думал в другом направлении. Хотя я так и полагал, что точка О - не только центр вписанной, а что-то еще, а вот что именно, мне не удалось понять.
(30 Окт '14 19:25)
rumotameru
|
Я пытался решать эту задачу, но у меня пока что не возникло приемлемого способа решения. Я составил некую систему уравнений, она оказалась достаточно сложной. Но радиус окружности получился равен $%7/\sqrt5$%, и это говорит о том, что должно быть какое-то нормальное решение.
После того как численным путём решение было найдено, всё прояснилось. Там надо было сделать одно простое наблюдение, и после него всё легко решается. Я вскоре изложу это дело.