математический-анализ - Найти лимит

Я так понимаю, $%x_1$% и $%x_2$% -- это какие-то фиксированные положительные числа, и надо дать ответ о том, как значение предела от них зависит, если он существует.

Здесь есть такой существенный момент. Если $%t\to0$%, то величина $%c=\frac{t-1}t$% стремится к бесконечности. Числитель при малых значениях $%t$% отрицателен, и при $%t > 0$% получается $%c\to-\infty$%, а при $%t < 0$% будет $%c\to+\infty$%. Поэтому значения пределов тут могут существенно зависеть от того, с какой стороны величина $%t$% подходит к нулю. Если имелось в виду, что она положительна из смысла каких-то приложений, то правильно было бы говорить о пределе справа.

Так или иначе, две версии задачи при стремлении $%c$% к бесконечности разного типа сводимы одна к другой. При замене $%c$% на $%-c$% происходит замена параметров на обратные, то есть на $%1/x_1$% и $%1/x_2$%, а смена знака в показателе приводит к замене значения предела на обратный. Это значит, что если в одном случае было 3, то станет -3, а если был 0, то станет бесконечность (и наоборот).

Поэтому далее можно ограничиться рассмотрение случая $%(x_1^c+x_2^c)^{1/c}$%, где $%c\to+\infty$%. Отдельного внимания заслуживает случай $%x_1=x_2=x$%. Для него получается $%(2x^c)^{1/c}=2^{1/c}x$%, что стремится к $%x$%. Далее будет без ограничения общности считать, что $%x_1 > x_2$%. Тогда величина $%x_2^c$% пренебрежимо мала по сравнению с $%x_1^c$% при больших $%c$%. Действительно, отношение $%x_2^c/x_1^c$% равно $%(x_1/x_2)^c$%, где основание степени меньше 1, и эта величина стремится к нулю. Поэтому основную роль будет играть слагаемое $%x_1^c$%, как если бы оно было одно, и тогда предел равен $%x_1$%. Формально мы можем заметить, что $%x_1^c < x_1^c+x_2^c < 2x_1^c$%, и тогда $%x_1 < (x_1^c+x_2^c)^{1/c} < 2^{1/c}x_1$%, где обе граничных величины стремятся к $%x_1$%. Значит, это же верно для промежуточной функции, согласно известной леммы из анализа.

Из сказанного следует, что при $%c\to+\infty$% значением предела будет $%\max(x_1,x_2)$%. Для случая $%t > 0$%, когда $%c\to-\infty$%, всё будет наоборот, и ответ будет равен $%(\max(x_1^{-1},x_2^{-1}))^{-1}=\min(x_1,x_2)$%.