геометрия - Каков наибольший диаметр шара

Если расположить один шар в центре, а остальные 8 вписать в трёхгранные углы у вершин, то при рассмотрении большой диагонали куба становится ясно, что подходят шары радиусом $%r$%, где $%2r\sqrt3+4r=24\sqrt3$%, то есть $%r=\frac{12\sqrt3}{2+\sqrt3}=12\sqrt3(2-\sqrt3)$%. Значение диаметра при этом равно $%d=24\sqrt3(2-\sqrt3)=48\sqrt3-72\approx11.138$%.

Докажем, что это значение радиуса является наибольшим. Пусть 9 шаров радиусом $%r$% помещены в коробку. Тогда их центры удалены от граней на расстояние не менее $%r$%, то есть они все принадлежат кубу с ребром $%24-2r$%. Разделим этот куб на 8 равных кубиков со стороной $%12-r$%. Ввиду того, что точек у нас 9, по принципу Дирихле найдутся две точки, принадлежащие одному из этих кубиков. Тогда расстояние между ними не превосходит $%(12-r)\sqrt3$%, но оно не должно быть меньше $%2r$%. Отсюда вытекает неравенство $%(12-r)\sqrt3\ge2r$%, равносильное $%r\le\frac{12\sqrt3}{2+\sqrt3}$%, из чего следует максимальность.