|
Ученик знает ответы на половину вопросов. Вторую половину гадает с вероятностью удачи $%1/4$%, ответил на 4 вопроса правильно. Какова вероятность, что на 2 вопроса знал ответ и 2 угадал. Вероятность ответа правильно на 4 вопроса - это просто $%{(5/8)}^4$%, а вот как найти вероятность, что по 2 вопроса с каждой части? Думал, что это гипергеометрическое распределение, но не получилось. задан 31 Окт '14 3:12 
Leonid Zil |
|
Тут всё получается по формулам Байеса, но я сами формулы в буквенном виде приводить не буду, а проведу рассуждение. Пусть $%k$% -- количество вопросов из второй половины, которое досталось ученику. Оно может принимать значения от 0 до 4. Разберём эти случаи по отдельности. 1) $%k=0$%. Такое событие происходит с вероятностью $%(\frac12)^2=\frac1{16}$%. Вероятность того, что все 4 ответа правильны, равна 1. Полагаем $%p_0=\frac1{16}$%. 2) $%k=1$%. Вероятность этого события равна $%C_4^1(\frac12)^4=\frac{4}{16}$%. Вероятность угадывания ответа на один незнакомый вопрос равна $%\frac14$%. Перемножая, получаем $% p_1=\frac1{16}$%. 3) $%k=2$%. Здесь вероятность события $%C_4^2(\frac12)^4$% умножается на вероятность правильного угадывания в двух случаях, то есть на $%\frac1{16}$%. Будет $%p_2=\frac3{128}$%. 4) $%k=3$%. Здесь по аналогичному принципу $%p_3=C_4^3(\frac12)^4\cdot(\frac14)^3=\frac1{256}$%. 5) $%k=4$%. Здесь $%p_4=(\frac12)^4\cdot(\frac14)^4=\frac1{4096}$%. Ответ будет равен $%\frac{p_2}{p_0+p_1+p_2+p_3+p_4}=\frac{96}{625}$%. В процентах это даёт $%15,36\%$%. Можно было бы чуть упростить разбор случаев, заметив, что сумма величин в знаменателе из общих соображений равна $%\frac1{16}(1+\frac14)^4=\frac{5^4}{2^{12}}$%, и тогда важен только пункт 2. отвечен 31 Окт '14 3:42 
falcao Я так понимаю, что при к=0 степень 4 а не 2.
(31 Окт '14 9:58)
Leonid Zil
@Leonid Zil: почему степень 4? Ведь там все вопросы знакомые, угадывание происходит наверняка. Учитывается только вероятность того, что достались все знакомые вопросы (k=0 незнакомых).
(31 Окт '14 12:35)
falcao
|