Найти inf и sup множества

Тут всё прямо вытекает из определений.

То, что 0 является нижней гранью, следует из того, что все числа множества неотрицательны, и даже положительны: $%1-\frac{n}{n+1}=\frac1{n+1} > 0$%, и тем более $%1+\frac{n}{n+1} > 0$% при $%n\in{\mathbb N}$%. Тот факт, что эта нижняя грань является точной, следует из того, что это наибольшая из всех нижний граней множества. Доказывается от противного: предположим, что некоторое число $%\varepsilon > 0$% является нижней гранью. Выберем натуральное $%n > 1/\varepsilon$%; существование такого числа следует из аксиомы Архимеда. Тогда $%\frac1{n+1} < \frac1n < \varepsilon$%, и возникает противоречие с тем, что выбранное число есть нижняя грань, так как нашёлся элемент множества, который меньше неё.

Для верхней грани: понятно, что $%1+\frac{n}{n+1} < 2$% (для чисел с минусом -- тем более). Значит, $%2$% является верхней гранью. Остаётся показать, что она наименьшая среди верхних граней. Снова от противного: рассматриваем произвольное число, меньшее $%2$%, которое удобно представить в виде $%2-\varepsilon$%. Выбирая натуральное $%n$% как и выше, видим, что $%1+\frac{n}{n+1}=2-\frac1{n+1} > 2-\frac1n > 2-\varepsilon$%. Это противоречит сделанному предположению.