интегралы - Проверьте пожалуйста на правильность

Меня смущает вывод $%2\rho\cos\varphi\geqslant\rho\sin\varphi\Rightarrow\sin\varphi\geqslant2\cos\varphi$%. Должно быть $%\sin\varphi\leqslant2\cos\varphi$%, откуда соотношение на угол будет $%-\pi+\arctan 2\leqslant\varphi\leqslant\arctan 2$%. С учетом того, что еще имеется соотношение $%\sin\varphi\leqslant 0$%, в итоге получаем $%-\pi+\arctan 2\leqslant\varphi\leqslant0$%. Этот угол легко получить, глядя на картинку области, которую можно изобразить в обычных декартовых координатах.

И уже в формуле при вычислении интеграла: откуда в пределах интегрирования $%\rho$% от $%0$% до $%2r$%? У Вас парой строк выше написано $%0\leqslant\rho\leqslant r$%, значит, пределы интегрирования должны быть от $%0$% до $%r$%.

Итог: в последней формуле при вычислении интеграла поправьте пределы интегрирования и пересчитайте результат.