Пусть про числа $%a_1,a_2,…,a_{400}$% известно, что $%0≤a_1≤a_2≤…≤a_{400}$% и $%a_1+a_2+…+a_{398}≤200$%, $%a_{399}+a_{400}≤200$%. В ответе укажите наибольшее значение $%a_{399}$% при наибольшем значении $%a_1^2+a_2^2+…a_{400}^2$%.

задан 1 Ноя '14 14:41

изменен 1 Ноя '14 14:55

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Прежде всего, ясно, что $%2a_{399}\le a_{399}+a_{400}\le200$%, откуда $%a_{399}\le100$%. При фиксированном значении $%a_{399}=a$% максимальное значение суммы квадратов $%a_{399}^2+a_{400}^2$% равно $%a^2+(200-a)^2$%.

Теперь оценим максимальное значение суммы квадратов $%a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{398}^2$% при ограничениях $%0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_{398}\le a$% и $%a_1+a_2+\cdots+a_{398}\le200$%. Утверждается, что оно не больше $%200a$%. Действительно, поскольку $%a_i^2\le a_ia_{398}$%, то сумма квадратов не превосходит $%(a_1+a_2+\cdots+a_{398})a_{398}\le200a$%.

Теперь рассматриваем сумму квадратов всех переменных. Она не превосходит $%200a+a^2+(200-a)^2=2a^2-200a+200^2=2(a-50)^2+200^2-2\cdot50^2$%. Ясно, что максимальное значение будет достигаться при максимальном значении величины $%|a-50|$%, то есть при $%a=0$% и $%a=100$%. Это значение равно $%200^2$%, и ему соответствует максимальное значение для $%a_{399}=a=100$%. Оно достигается при $%a_{397}=a_{398}=a_{399}=a_{400}=100$% и нулевых значениях остальных переменных.

ссылка

отвечен 1 Ноя '14 22:12

10|600 символов нужно символов осталось
0

Дело в том, что если вы возьмете все значения от а1 до а 399 равные нулю, а а400 равное 200, то значение суммы квадратов будет тем же, 40000. Подскажите как быть, ведь получается два ответа?

ссылка

отвечен 3 Янв '15 0:53

изменен 3 Янв '15 0:55

@Finalyty: В ответе нужно указать наибольшее значение $%a_{399}$% - двух ответов нет.

(3 Янв '15 0:59) EdwardTurJ

В задаче надо найти максимальное значение для $%a_{399}$% при заданных ограничениях. Ясно, что если положить $%a_{399}=0$%, то это значение максимальным не будет.

(3 Янв '15 1:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,997

задан
1 Ноя '14 14:41

показан
1029 раз

обновлен
3 Янв '15 1:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru