|
Здравствуйте! Функция: $$y=\frac{(2-x^2)(3-x^3)}{(1-x)^2}$$ Я расписал так: $$y=\frac{((2-x^2)(3-x^3))'(1-x)^2 - (2-x^2)(3-x^3)((1-x)^2)'}{(1-x)^4}$$ Посчитал каждую производную по отдельности: $$y_1'=((1-x)^2)'=2(x-1)$$ $$y_2'=((2-x^2)(3-x^3))'=x(5x^3-6x-6)$$ Затем всё подставив, получил ответ: $$y'= \frac{(-1)(5 x^5-5 x^4-6 x^3+2 x^2+6 x-4)}{(1-x)^3}$$ Но он неверный. Где я допускаю фатальную ошибку? задан 1 Ноя '14 15:32 
ВладиславМСК |
|
Давайте я на всякий случай покажу, как бы я стал этот пример решать. Прежде всего, из формулы для производной произведения легко следует такое правило для производной трёх функций (а также любого числа): $%(f_1f_2f_3)'=f_1'f_2f_3+f_1f_2'f_3+f_1f_2f_3'$%. Отсюда для $%y=(x^3-3)(x^2-2)(x-1)^{-2}$% получается $%y'=3x^2(x^2-2)(x-1)^{-2}+2x(x^3-3)(x-1)^{-2}-2(x^3-3)(x^2-2)(x-1)^{-3}$%. Преобразуем это дело как $%y'=(5x^4-6x^2-6x)(x-1)^{-2}-2(x^5-2x^3-3x^2+6)(x-1)^{-3}$%. Из этого следует, что $$y'=\frac{(5x^4-6x^2-6x)(x-1)-2(x^5-2x^3-3x^2+6)}{(x-1)^3}=\frac{3x^5-5x^4-2x^3+6x^2+6x-12}{(x-1)^3}.$$ Можно, конечно, делать и по обычной формуле для производной частного, но надо следить за тем, чтобы все этапы вычислений были прозрачными и легко проверяемыми. отвечен 1 Ноя '14 15:54 
falcao |
Ответ действительно неверный, но ошибка совершается при подстановке и последующих преобразованиях. Надо это место внимательно перепроверить. А саму функцию лучше было с самого начала переписать в таком виде, чтобы все старшие коэффициенты стали положительными.
Ошибка при окончательных вычислениях, когда все подставляете.
@falcao, @cartesius, спасибо большое. Буду искать ошибку. А то уже не на одном примере сталкиваюсь именно с проблемой счёта, а не взятия производной.
@ВладиславМСК: в любых мало-мальски сложных вычислительных примерах промежуточные ошибки в процессе решения почти неизбежны. Поэтому решение должно иметь такую структуру, чтобы их было легко обнаружить и исправить. Это подобно процессу отладки сложной программы. Здесь также важно делать упрощения типа избавления от лишних минусов и всего остального. Сложные действия обычно разбивают на этапы, как Вы и поступили с двумя производными. А перемножение и раскрытие скобок с приведением подобных -- это тоже вещь, требующая определённой аккуратности.