|
Надо доказать по определению Коши:
Решая, я пришел к этому: $%0 < x - 4 < б $% $%-e < x^{1/2} - 4 < e$% Надо как-то выразить $%б$% через $%e$%, чтобы из первого двойного неравенства следовало второе. задан 1 Ноя '14 17:53 
Leva319 |
|
Во-первых, придти Вы должны были не к этому, а к $$-\delta< x-4< \delta,$$ $$-\varepsilon<\sqrt{x}-2<\varepsilon.$$ Во-вторых. последнее неравенство преобразуем: $$\sqrt{x}-2=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+2}=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2},$$ то есть $$-\varepsilon<\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}<\varepsilon.$$ Домножим на положительный знаменатель - получим $$-\varepsilon (\sqrt{x}+2)< x-4< \varepsilon(\sqrt{x}+2).$$ А вот теперь начинается то, о чем Вы спрашиваете. Заметим, что $%\sqrt{x}+2\geqslant 2$% (то есть $%\varepsilon(\sqrt{x}+2)\geqslant 2\varepsilon$%), и ПОТРЕБУЕМ, чтобы было выполнено неравенство $$-\varepsilon (\sqrt{x}+2)\leqslant -2\varepsilon< x-4< 2\varepsilon\leqslant\varepsilon(\sqrt{x}+2).$$ Отсюда должно быть видно, что если выполнено неравенство $$-2\varepsilon< x-4< 2\varepsilon,$$ то обязательно будет выполнено и неравенство $%-\varepsilon (\sqrt{x}+2)< x-4< \varepsilon(\sqrt{x}+2)$%. Это и оздачает, что за $%\delta$% можно выбрать $%2\varepsilon$%. отвечен 1 Ноя '14 19:57 
cartesius Да, ошибся, во втором корень из икс минус 2, а вот в первом почему -б < x -4 < б, по определению Коши там слева должен стоять 0, разве нет?
(1 Ноя '14 20:00)
Leva319
Получается б <= 2e?
(1 Ноя '14 20:16)
Leva319
Да. За $%\delta$% можно принять любое положительное число, не превосходящее $%2\varepsilon$%. Обычно в таких случаях полагают равенство: $%\delta=2\varepsilon$%.
(1 Ноя '14 20:24)
cartesius
С самим примером разобрался, но так и не понял почему именно -б < x - a < б ? В википедии 0 < x - a < б Где найти верное определение?
(4 Ноя '14 19:41)
Leva319
А Вы больше википедию читайте... Верное определение - в учебниках по высшей математике или математическому анализу. Верно все же или $%-\delta< x-a <\delta$% при $%x\neq a$% или, что то же самое, $%0<|x-a|<\delta$%. Обращаю внимание - знак модуля принципиален.
(4 Ноя '14 19:47)
cartesius
Насколько я поняла, модули у Вас вызывают затруднения, поэтому я старалась их не использовать. Если модули все же понятны - разберите вариант решения, предложенный @falcao.
(4 Ноя '14 19:52)
cartesius
@Leva319: не могли бы Вы дать ссылку на Википедию, где имеется указанное Вами неравенство? Как правило, там очень грубые ошибки встречаются довольно редко, так что хотелось бы разобраться. То неравенство, о котором Вы говорите, соответствует определению предела справа.
(4 Ноя '14 21:04)
falcao
@falcao, грубые ошибки в Википедии встречаются, и очень часто, особенно если материал выходит за рамки 1-2 курса общей программы по высшей математике. Не раз сталкивалась.
(4 Ноя '14 21:13)
cartesius
1
Я был не прав, в википедии все правильно - 0 < |x - a| < б (забыл поставить модуль).
(4 Ноя '14 21:43)
Leva319
показано 5 из 9
показать еще 4
|
|
У Вас ещё модули в неравенствах должны быть. Во втором из них Вы модуль раскрыли, а в первом он пропал. Идея здесь вот какая. Пусть $%x\ne4$%, а также $%x\ge0$%, чтобы корень мог быть извлечён. Тогда $%\sqrt{x}-2=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}$%. После расстановки модулей получается $%|\sqrt{x}-2|=\frac{|x-4|}{\sqrt{x}+2}$%. Знаменатель дроби здесь положителен, и если $%x$% близко к 4, то он примерно равен $%\sqrt4+2=4$%. Это значит, что если в числителе стоит $%\delta$%, то получится примерно $%\delta/4$%, и это примерно равно $%\varepsilon$%, что означает $%\delta\approx4\varepsilon$%. Теперь это надо реализовать на языке неравенств, не преследуя цель получить оптимальную точность. Пусть мы пока не знаем, чему равно $%\delta$%. Но мы можем применить неравенство $%|x-4| < \delta$%, приходя к величине $%\frac{\delta}{\sqrt{x}+2}$%. Её надо будет оценить сверху, а для этого знаменатель придётся оценить снизу. То есть он должен быть больше какой-то константы. В данном случае видно, что если просто учесть условие $%\sqrt{x}\ge0$%, не делая ничего дополнительно, то в итоге получится $%\frac{\delta}{\sqrt{x}+2}\le\frac{\delta}2$%. Теперь эту величину можно просто приравнять к $%\varepsilon$%. Это сделать можно, так как связь между $%\delta$% и $%\varepsilon$% мы задаём сами. Тогда мы говорим, что полагаем $%\delta=\delta(\varepsilon)=2\varepsilon$%, и при всех $%x$% из области определения функции, для которых $%0 < |x-4| < \delta$%, будет справедлива такая цепочка неравенств: $$|\sqrt{x}-2|=\frac{|x-4|}{\sqrt{x}+2} < \frac{\delta}{\sqrt{x}+2}\le\frac{\delta}2=\varepsilon.$$ отвечен 1 Ноя '14 20:09 
falcao |