интегралы - Поток вектора

Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции поля по трёхмерной области, ограниченной этой поверхностью. В данной задаче дивергенция, как сумма частных производных по переменным, равна $%5+2z$%, и эту функцию надо проинтегрировать по полушару радиусом 3. Первое слагаемое можно не интегрировать, а просто умножить на объём полушара. Поскольку $%V=\frac43\pi R^3$%, здесь при $%R=3$% мы получим $%5V/2=90\pi$%.

Проинтегрируем второе слагаемое. В плоскости $%Oxy$% вводим полярные координаты, где $%r^2=x^2+y^2$%. При фиксированных значениях $%x$% и $%y$% переменная $%z$% меняется от $%0$% до $%\sqrt{9-r^2}$%. Тогда в тройном интеграле, при переходе к повторным, внутри возникает интеграл $%\int\limits_0^{\sqrt{9-r^2}}2z\,dz=9-r^2$%.

Эту функцию надо проинтегрировать по кругу радиусом 3 в плоскости $%Oxy$%. Поскольку она не зависит от угла, появляется множитель $%2\pi$%, и интегрировать надо функцию $%r(9-r^2)$% после умножения на якобиан замены. Это даёт $%\int\limits_0^3(9r-r^3)dr=9\cdot\frac{3^2}2-\frac{3^4}4=\frac{81}4$%. Домножаем на $%2\pi$%, получая $%\frac{81\pi}2$%. Это интеграл от второго слагаемого.

Складываем оба интеграла, получая $%90\pi+\frac{81\pi}2=\frac{261}2\pi$%.