высшая-математика - Найти интервал сходимости степенного ряда

По определению радиус сходимости степенного ряда $%\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$% вычисляется по формуле $$R=\frac{1}{\lim_{n\rightarrow +\infty}|a_{n+1}/a_n|}.$$ Обратите внимание: $%x^n$% мы в формулу не пишем.

Тогда в вашей формуле надо поменять местами числитель и знаменатель и выкинуть $%x$%.

Получится $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{5^n\cdot 5/\sqrt[3]{n+1}}{5^n/\sqrt[3]{n}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{5}{1}\cdot\sqrt[3]{\frac{n}{n+1}}.$$ (У Вас же ошибка - не нужно было вносить $%5^n$% под корень. )

Что касается полученного предела, то $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{n+1}=1,$$ и из этого числа вычисляется корень. (То есть сначала считаем предел подкоренного выражения.)

В итоге исходный предел равен $%5$%, а значит, радиус сходимости равен $%R=1/5$%. Поэтому на интервале $%(-1/5;1/5)$% ряд сходится, а в точках $%x=\pm 1/5$% нужно проводить дополнительные исследования. (Найти предел $%\lim_{n\rightarrow +\infty}|a_n|$% - если он не равен нулю, то в этих точках ряд точно расходится.)