Найти максимальное $%a$%, при котором система имеет бесконечное число решений:

$$\begin{cases}(2a-1) \sin x + \cos x = 2\\a \sin x + (2a-1)\cos x = a + 1\end{cases}$$

задан 2 Ноя '14 12:49

изменен 15 Дек '14 1:09

EdwardTurJ's gravatar image


601294192

Мой ответ: $%a=1,5$%

(2 Ноя '14 12:50) stander

Это верный ответ.

(2 Ноя '14 14:23) night-raven
10|600 символов нужно символов осталось
1

Из первого уравнения выражаем $%\cos x$% и подставляем во второе. После преобразований второго уравнения получим $$(a-1)(4a-1)\sin x=3(a-1).$$ Если $%a=1/4$%, то решений нет.

Если $%a=1$%, то $%\sin x$% может принимать любые значения. Но при этом, подставляя $%a=1$% в первое уравнение, получим $%\sin x+\cos x=2$%, что невозможно. Поэтому можно считать, что $%a\neq 1$%.

Выражаем $%\sin x$% и $%\cos x=2-(2a-1)\sin x$% через $%a$%. Получим $$\sin x=\frac{3}{4a-1},$$ $$\cos x=\frac{2a+1}{4a-1}.$$

Дальше из основного тригонометрического тождества получаем условие на $%a$%: $$3^2+(2a+1)^2=(4a-1)^2.$$ Максимальный корень этого уравнения - $%1,5$%. Остается проверить, что при этом мы получим бесконечное число решений. (Достаточно убедиться, что выражения для $%\sin x$% и $%\cos x$% по модулю не превосходят единицы.)

ссылка

отвечен 2 Ноя '14 14:16

изменен 2 Ноя '14 14:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×531
×334

задан
2 Ноя '14 12:49

показан
682 раза

обновлен
15 Дек '14 1:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru