Помогите, пожалуйста.
Найдите количество пар целых чисел ($%m,n$%) таких, что $%−2014≤m$%, $%n≤2014$% и уравнение $%x^3+y^3=m+3nxy$% имеет бесконечно много целых решений ($%x,y$%).

задан 2 Ноя '14 14:30

изменен 2 Ноя '14 14:42

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
4

Положим $%u=x+y$%, $%v=xy$%. Тогда $%u^3=(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=x^3+y^3+3uv$%, откуда $%u^3-3uv=x^3+y^3=m+3nv$%. Тем самым, $%u^3-m=3v(u+n)$%.

У нас получилось, что число $%u^3-m$% кратно $%u+n$%. С другой стороны, $%u^3+n^3=(u+n)(u^2-un+n^2)$% также кратно $%u+n$%. Из этого следует, что разность $%n^3+m$% кратна $%u+n$%.

Допустим, что $%m\ne-n^3$%. Тогда число $%n^3+m$% имеет конечное число делителей. Следовательно, $%u+n$% принимает конечное число значений. Поскольку $%u+n\ne0$%, число $%v$% однозначно выражается через $%m$%, $%n$% и $%u$% по формуле $%v=\frac{u^3-n}{3(u+n)}$%, и оно также принимает лишь конечное число значений.

Если уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах для пара $%(x,y)$%, то это же верно относительно решений для пар $%(u,v)$%, поскольку для заданной пары $%(u,v)$% система $%x+y=u$%, $%xy=v$% имеет не более двух решений в силу теоремы Виета. Однако у нас оказалось так, что при $%m\ne-n^3$% количество решений уравнения относительно $%(u,v)$% будет конечным. Следовательно, мы должны ограничиться рассмотрением случая $%m=-n^3$%.

Уравнение, которое мы получили, принимает вид $%u^3+n^3=3v(u+n)$%. Ясно, что его решением будет $%u=-n$% при любом $%v$%, то есть любая пара целых чисел $%(x,y)$% с условием $%x+y=-n$%. Значит, решений в этом случае будет бесконечно много.

Таким образом, нам годятся пары, для которых $%m=-n^3$% заключено между $%-2014$% и $%2014$%, откуда $%-12\le n\le12$% ввиду $%12^3=1728 < 2014 < 2197=13^3$%. Таких значений $%n$% имеется ровно $%25$%, и для них $%m=-n^3$%.

ссылка

отвечен 2 Ноя '14 17:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,055

задан
2 Ноя '14 14:30

показан
2481 раз

обновлен
2 Ноя '14 17:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru