производная - Какая формула взятия производной?

Вообще-то в таких случаях просто пишут $%y=(x^3+3)^{1/3}$%, и далее по формуле для производной сложной функции получается $%y'=\frac13(x^3+3)^{-2/3}\cdot(3x^2)=\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3+3}^2}$%. В точке $%x=-\sqrt[3]3$%, где знаменатель обращается в ноль, производная не существует (она равна бесконечности, и касательная к графику вертикальна).

При том, что такая запись является достаточно общепринятой, надо иметь в виду одну тонкость. Дело в том, что $%\sqrt[3]t$% считается определённым всегда, а степенная функция $%t^{1/3}$% -- только при $%t\ge0$%. То есть, $%\sqrt[3]{-8}=-2$%, в то время как $%(-8)^{1/3}$% -- это не имеющее смысла выражение. Однако производную функции $%\sqrt[3]{t}$% при отрицательных $%t$% всё равно можно вычислить, исходя из того, что кубический корень -- функция нечётная. Если $%t < 0$%, то можно записать $%\sqrt[3]t=-\sqrt[3]{-t}=-(-t)^{1/3}$%, и после применения формулы для производной сложной функции мы получим $%\frac13(-t)^{2/3}=\frac1{3\sqrt[3]t^2}$%, и вид формулы будет такой же точно, как и для положительных $%t$%. Поэтому такой приём перехода к степенной функции с дробным показателем чаще всего используют без дополнительного обоснования.