Дан треугольник $%ABC$%.
На прямой $%AC$% взяты точки $%X$% и $%Y$%, отличные от точек $%A$% и $%C$%, так, что $%XA=AC=CY$%.
На прямой $%BC$% взяты точки $%K$% и $%L$%, отличные от точек $%B$% и $%C$%, так, что $%KB=BC=CL$%.
На прямой $%AB$% взяты точки $%M$% и $%N$%, отличные от точек $%A$% и $%B$%, так, что $%MA=AB=BN$%.
Оказалось, что вокруг шестиугольника $%XKNYLM$% можно описать окружность. Известно что, периметр треугольника $%ABC=21\sqrt{\frac{3}{7}}$%.
Найдите радиус, описанной вокруг шестиугольника $%XKNYLM$% окружности.

задан 2 Ноя '14 19:34

изменен 2 Ноя '14 21:26

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Предположим, что такой шестиугольник построен и вокруг него описана окружность. Тогда хорды $%KL$% и $%MN$% пересекаются в точке $%B$%. ($%AB=c$%, $%BC=a$%, $%AC=b$%). В таком случае известно равенство $%KB \cdot BL=NB \cdot BM$%, т.е. $%ax2a=cx2c$% или $%a=c$%. Аналогично показываем, что $%b=c$%. Т.е треугольник $%ABC$% равносторонний и $%AB=BC=AC=\sqrt{21}$%.

Радиус находим по теореме Пифагора, например, из прямоугольного треугольника $%OZN$%, где $%O$% - центр треугольника $%ABC$%, $%Z$% - середина $%KN$%, а $%ON$% - радиус.

$%ZN=\sqrt{21}/2$%, $%OZ=OB+BZ$%. $%BZ$% равно высоте треугольника $%ABC$%, $%OB$% - две трети этой же высоты.

Поэтому $%OZ=\sqrt{21} \cdot \frac {\sqrt{3}}2+ \frac 23 \cdot \sqrt{21} \cdot \frac {\sqrt{3}}2= \frac 52 \cdot \sqrt7$%.

А $%ON=R=\sqrt{(\frac52 \cdot \sqrt7)^2+(\frac {\sqrt{21}}2)^2}=7$%.

ссылка

отвечен 2 Ноя '14 21:42

изменен 14 Ноя '14 21:51

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Спасибо большое за решение)))

(10 Янв '15 21:13) ЗлаяДевица
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,683
×442
×51

задан
2 Ноя '14 19:34

показан
1380 раз

обновлен
10 Янв '15 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru