|
Найти все натуральные $%x$%, при которых выражение $%(x+3)^{x-1}+(x+2)^{2x}$% делится на $%3$% без остатка. задан 2 Ноя '14 21:53 
serg55 |
|
Ясно, что если $%x=3k$% или $%x=3k+1$%, то одно из слагаемых в выражении делится на 3, а второе - нет, а значит, и все выражение не делится на 3. Таким образом, можно считать, что $%x=3k-1$% для натурального $%k$%. Тогда выражение примет вид $$(3k+2)^{3k-2}+(3k+1)^{2(3k-1)}.$$ Второе слагаемое имеет остаток 1 от деления на 3. Значит, чтобы число делилось на 3, первое слагаемое должно иметь остаток 2. Но это может быть только если мы возводим в нечетную степень. То есть $%3k-2$% - нечетное число. Откуда $%k=2n-1$% и $%x=6n-4$%. отвечен 2 Ноя '14 22:11 
cartesius |
|
Пусть $%a,b\in\mathbb N$%. При нахождении остатка от деления на 3 можно $%a$% заменить на его остаток. Это следует из простейших свойств сравнений. Если $%a$% кратно трём, что $%a^b$% также кратно трём вне зависимости от $%b$%. Если $%a$% даёт в остатке 1, то это верно для любой его степени. Здесь также нет зависимости от $%b$%. Наконец, если $%a$% даёт в остатке 2, то его степени, начиная с первой, дают в остатке 2, 1, 2, 1, ... с периодом 2. Из сказанного следует, что последовательность остатков для чисел из условия будет иметь период 6, начиная со второго члена. Случай $%x=1$%, когда возникает нулевой показатель, рассматриваем отдельно, и там остаток равен единице. При $%x\in\{2;3;4;5;6;7\}$% остатки вычисляются непосредственно, и они равны 0, 1, 1, 2, 1, 1 соответственно. Легко заметить, что и самое первое число этой периодической закономерности подчиняется. Таким образом, $%x$% должно давать остаток 2 от деления на 6. отвечен 2 Ноя '14 22:13 
falcao |
|
Достаточно рассмотреть числа вида $%6k$%, $%6k+1$% ... $%6k+5$% и показать, что первые дают остаток 1; вторые - 1; $%6k+2$% делятся нацело; $%6k+3$% и $%6k+4$% - остаток 1; $%6k+5$% - остаток 2. Ответ: числа вида $%6k+2$% (2; 8; 14;...). отвечен 2 Ноя '14 22:16 
Lyudmyla |