|
Арифметическая прогрессия $%\big\{a_n\big\}$% обладает тем свойством, что квадрат каждого ее члена является некоторым членом той же прогрессии. Найти сумму первых восьми членов прогрессии, если ее первый член $%a_1=2$%. задан 3 Ноя '14 0:47 
serg55 |
|
Прогрессии принадлежат члены 2 и 4. Если между ними ничего нет, то это прогрессия из чётных чисел. Если есть ровно одно промежуточное число, то это прогрессия из всех натуральных чисел, начиная с двойки. Покажем, что ничего другого быть не может. Если между 2 и 4 есть более одного числа, то разность прогрессии является рациональным, но не целым числом. Запишем её в виде несократимой дроби: $%d=m/n$%, где $%n > 1$%. Тогда все члены прогрессии будут рациональными числами с ограниченными в совокупностями знаменателями (делителями $%n$%). С другой стороны, при возведении в квадрат числa $%a_2=2+d=\frac{2n+m}n$%, которое также записано в виде несократимой дроби, получится несократимая дробь со знаменателем $%n^2$%, и это противоречит сказанному выше. отвечен 3 Ноя '14 1:17 
falcao |
Возможно как минимум два варианта: 2, 3, 4, 5,... (все натуральные числа), или 2, 4, 6, 8,... (все чётные числа). Сумма первых восьми членов будет разной для этих случаев, поэтому тут нет однозначного ответа. Одно из двух: или есть ещё какое-то дополнительное условие, или имеется в виду указание всех возможных вариантов. Но в последнем случае вопрос было бы лучше сформулировать иначе -- скажем, "какие значения может принимать сумма первых восьми членов?"
@falcao: Условия приведены абсолютно точно, у меня тоже получились те же два ответа, и это вызвало у меня сомнения, но как это оформить, обосновать у меня как-то не очень, скорее на уровне догадки, у меня нет обоснованного решения. Кроме этого, надо обосновать как-то, что больше нет вариантов, или наоборот, что есть, еще какие-то?
@serg55: если требуется обосновать, что случаев может быть только два, то это несложно. Я сейчас напишу.