математика - Наибольшее возможное число целочисленных значений

Мне кажется, для решения этой задачи тот анализ, о котором Вы говорите, вовсе не обязателен.

Прежде всего, если есть квадрат, заданный неравенством вида $%|x-x_0|+|y-y_0|\le2$%, то число всех целочисленных решений не превосходит 13, и оно достигается тогда и только тогда, когда координаты центра целые. Это хорошо видно из рисунка. Теперь, если мы изобразим второй квадрат, который от $%a$% не зависит, а также нарисуем прямую возможных центров первого квадрата, которая имеет уравнение $%y_0=-2x_0+1$%, то становится ясно, что на ней имеются ровно три точки с целочисленными координатами, которые нам подходят. Это $%(-1;3)$%, $%(0;1)$%, $%(1;-1)$%, которым соответствуют значения $%a\in\{0;1;2\}$%. Точек там совсем мало, и проверка центра на "пригодность" сводится к тому, будет ли центр оставаться в пределах большого квадрата, если мы сдвинем его в одном из четырёх направлений на две единицы.

Теперь по поводу вопроса о неравенствах. Допустим, перед нами просто стоял бы вопрос, когда первый квадрат содержится во втором как фигура. Тогда один из способов мог бы состоять в том, что мы проверили бы каждую из четырёх его вершин на этот предмет. Координаты таких точек легко получаются прибавлением или вычитанием числа 2 для абсциссы и ординаты центра (по отдельности). Далее оставалось бы исследовать систему из четырёх неравенств с модулями (типа $%|a+1|+|-2a+3|\le6$%). Так сделать можно, но приходится рассматривать много случаев при раскрытии модулей. Поэтому лучше поступить по-другому.

Мы знаем уравнения прямых, задающих границы каждого из квадратов. Например, $%y=x+6$% -- это уравнение прямой, ограничивающей второй квадрат слева сверху. Для первого квадрата аналогичная прямая задаётся уравнением $%y+2a-3=(x-a+1)+2$%, то есть $%y=x-3a+6$%. Ясно, что эта прямая должна лежать ниже (точнее, не выше) предыдущей, что очевидно из геометрических соображений, откуда $%6\ge-3a+6$%,то есть $%a\ge0$%. Фактически, тут исследуется вопрос о том, когда одна из двух полос содержится в другой.

Аналогично рассматриваются три остальных случая, приводящие к неравенствам $%a\ge-2$% (лишнее), $%a\le8/3$%, $%a\le6$% (лишнее). Итогом будет условие $%a\in[0;8/3]$%, которое можно также пронаблюдать на графике.