Найти значения параметра $%a$%, при котором система неравенств $$\begin{cases}|x-a+1|+|y+2a-3|\leq2\\|x|+|y|\leq6\end{cases} $$ имеет наибольшее возможное число целочисленных значений.

Я знаю, что даны уравнения двух квадратов, у первого центр имеет координаты ($%a-1; -2a+3$%), а второй ($%0;0$%). Я считаю, что наибольшее число возможных целочисленных решений будет, когда один из квадратов будет находится полностью внутри другого, включая вариант касания. Но как это условие записать в виде формул, скорее всего совокупности неравенств, никак не могу сообразить. Заранее благодарен.

задан 3 Ноя '14 3:13

изменен 3 Ноя '14 21:21

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Мне кажется, для решения этой задачи тот анализ, о котором Вы говорите, вовсе не обязателен.

Прежде всего, если есть квадрат, заданный неравенством вида $%|x-x_0|+|y-y_0|\le2$%, то число всех целочисленных решений не превосходит 13, и оно достигается тогда и только тогда, когда координаты центра целые. Это хорошо видно из рисунка. Теперь, если мы изобразим второй квадрат, который от $%a$% не зависит, а также нарисуем прямую возможных центров первого квадрата, которая имеет уравнение $%y_0=-2x_0+1$%, то становится ясно, что на ней имеются ровно три точки с целочисленными координатами, которые нам подходят. Это $%(-1;3)$%, $%(0;1)$%, $%(1;-1)$%, которым соответствуют значения $%a\in\{0;1;2\}$%. Точек там совсем мало, и проверка центра на "пригодность" сводится к тому, будет ли центр оставаться в пределах большого квадрата, если мы сдвинем его в одном из четырёх направлений на две единицы.

Теперь по поводу вопроса о неравенствах. Допустим, перед нами просто стоял бы вопрос, когда первый квадрат содержится во втором как фигура. Тогда один из способов мог бы состоять в том, что мы проверили бы каждую из четырёх его вершин на этот предмет. Координаты таких точек легко получаются прибавлением или вычитанием числа 2 для абсциссы и ординаты центра (по отдельности). Далее оставалось бы исследовать систему из четырёх неравенств с модулями (типа $%|a+1|+|-2a+3|\le6$%). Так сделать можно, но приходится рассматривать много случаев при раскрытии модулей. Поэтому лучше поступить по-другому.

Мы знаем уравнения прямых, задающих границы каждого из квадратов. Например, $%y=x+6$% -- это уравнение прямой, ограничивающей второй квадрат слева сверху. Для первого квадрата аналогичная прямая задаётся уравнением $%y+2a-3=(x-a+1)+2$%, то есть $%y=x-3a+6$%. Ясно, что эта прямая должна лежать ниже (точнее, не выше) предыдущей, что очевидно из геометрических соображений, откуда $%6\ge-3a+6$%,то есть $%a\ge0$%. Фактически, тут исследуется вопрос о том, когда одна из двух полос содержится в другой.

Аналогично рассматриваются три остальных случая, приводящие к неравенствам $%a\ge-2$% (лишнее), $%a\le8/3$%, $%a\le6$% (лишнее). Итогом будет условие $%a\in[0;8/3]$%, которое можно также пронаблюдать на графике.

ссылка

отвечен 3 Ноя '14 4:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,761
×797
×38

задан
3 Ноя '14 3:13

показан
885 раз

обновлен
3 Ноя '14 4:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru