геометрия - Найти радиус окружности и длину отрезка

Опустим из точек $%B$% и $%C$% перпендикуляры $%BB_1$% и $%CC_1$% на основание $%AD$%. Пусть также $%P_1$% -- точка касания окружности с этим основанием. Ясно, что $%BPP_1B_1$% -- прямоугольник, поэтому $%B_1P_1=BP=2$%. Введём обозначения $%x$% и $%y$% для отрезков касательных, проведённых к окружности из точек $%A$% и $%D$% соответственно. Тогда $%AB=x+2$%, $%CD=y+3$% с учётом свойств отрезков касательных, и $%AP_1=x$%. Из последнего равенства имеем $%AB_1=|x-2|$%. Теперь применяем теорему Пифагора для треугольника с $%ABB_1$% гипотенузой $%AB$%. Получается $%(x+2)^2-(x-2)^2=4r^2$%, где $%r$% -- радиус окружности. Это даёт $%r^2=2x$%. Аналогичным способом приходим к равенству $%r^2=3y$%.

Теперь пользуемся тем, что площадь описанного многоугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Это даёт $%30\sqrt3=(x+y+5)r$%, то есть $%(\frac{r^2}6+1)r=6\sqrt3$%. Корень этого кубического уравнения проще всего найти подбором: $%r=2\sqrt3$%. Это число подходит, а других корней нет, так как функция от $%r$% возрастает.

Теперь мы полностью знаем все длины: $%x=6$%, $%y=4$%. Исходя из этого, нетрудно найти расстояние между точками касания боковых сторон. Они находятся на высоте $%\frac34h$% и $%\frac47h$% от прямой $%AD$%, где $%h=2r=4\sqrt3$% -- высота трапеции. То есть эти расстояния мы знаем. Также мы знаем расстояние между их проекциями. Оно равно $%\frac37+5+1=\frac{45}7$%. После этого расстояние между точками находится при помощи теоремы Пифагора. Эта часть является чисто вычислительной, и подробности я опускаю. В ответе должно быть $%10\sqrt{\frac37}=\frac{10}7\sqrt{21}$%, если не ошибаюсь.