1. Показать, что $%inf_{-\infty< a <\infty}M(\xi-a)^2$% достигается при $%a=M\xi$%, следовательно $%inf_{-\infty< a <\infty}M(\xi-a)^2=D\xi$%.
  2. Пусть $%\xi,\eta$% - две случайные величины, причем $%M\xi=M\eta=0,D\xi=D\eta=1$% и коэффициентом корреляции $%\rho=\rho(\xi,\eta)$%. Показать , что $%Mmax(\xi^2,\eta^2)\leqslant 1+\sqrt{1-\rho^2}$%.

задан 3 Ноя '14 11:52

изменен 3 Ноя '14 21:22

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Выражение $%M(\xi-a)^2=M\xi^2-2aM\xi+a^2$% представляет собой квадратный трёхчлен от $%a$%. Точка минимума легко находится как и для обычного квадратного трёхчлена. Например, можно преобразовать это выражение, выделяя полный квадрат, и получится $%(a-M\xi)^2+M\xi^2-(M\xi)^2$%. Понятно, что наименьшее значение достигается в точке $%a=M\xi$%, и оно равно $%M\xi^2-(M\xi)^2=D\xi$%.

2) Здесь надо заметить, что $%\max(a,b)=\frac{a+b}2+\frac{|a-b|}2$% для любых неотрицательных чисел $%a$%, $%b$%, поэтому $%M\max(\xi^2,\eta^2)=\frac12M(\xi^2+\eta^2)+\frac12M|\xi^2-\eta^2|$%. Первое слагаемое равно $%1$%, поэтому всё сводится к доказательству того, что $%M|\xi^2-\eta^2|\le2\sqrt{1-\rho^2}$%. Это вытекает из неравенства Коши - Буняковского, поскольку $%M|\xi^2-\eta^2|=M|\xi-\eta||\xi+\eta|\le\sqrt{M(\xi-\eta)^2}\sqrt{M(\xi+\eta)^2}=\sqrt{(2-2\rho)(2+2\rho)}$%, а это и есть $%2\sqrt{1-\rho^2}$%.

ссылка

отвечен 4 Ноя '14 4:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,229
×247
×246
×142

задан
3 Ноя '14 11:52

показан
612 раз

обновлен
4 Ноя '14 4:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru