теория-вероятностей - Доказательства (теория вероятности)

1) Выражение $%M(\xi-a)^2=M\xi^2-2aM\xi+a^2$% представляет собой квадратный трёхчлен от $%a$%. Точка минимума легко находится как и для обычного квадратного трёхчлена. Например, можно преобразовать это выражение, выделяя полный квадрат, и получится $%(a-M\xi)^2+M\xi^2-(M\xi)^2$%. Понятно, что наименьшее значение достигается в точке $%a=M\xi$%, и оно равно $%M\xi^2-(M\xi)^2=D\xi$%.

2) Здесь надо заметить, что $%\max(a,b)=\frac{a+b}2+\frac{|a-b|}2$% для любых неотрицательных чисел $%a$%, $%b$%, поэтому $%M\max(\xi^2,\eta^2)=\frac12M(\xi^2+\eta^2)+\frac12M|\xi^2-\eta^2|$%. Первое слагаемое равно $%1$%, поэтому всё сводится к доказательству того, что $%M|\xi^2-\eta^2|\le2\sqrt{1-\rho^2}$%. Это вытекает из неравенства Коши - Буняковского, поскольку $%M|\xi^2-\eta^2|=M|\xi-\eta||\xi+\eta|\le\sqrt{M(\xi-\eta)^2}\sqrt{M(\xi+\eta)^2}=\sqrt{(2-2\rho)(2+2\rho)}$%, а это и есть $%2\sqrt{1-\rho^2}$%.