|
Подскажите, какие действия нужно проделывать при нахождении производной от такой функции: $$y=\cos( 3^{x} \cdot \sqrt[5]{2 x^{3}+ \sqrt{x}}) + {\rm sh}(x)^{{\rm arctg} (x)} + \ln( {\rm tg} (\frac{x}{2} ))$$ задан 3 Ноя '14 13:24 
Palladium |
|
$$\eqalign{ & y' = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\cos \left( {{3^x} \cdot \root 5 \of {2{x^3} + \sqrt x } } \right)} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}{\left( {{\text{sh}}(x)} \right)^{{\text{arctg}}(x)}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{\text{ln}}\left( {{\text{tg}}\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right)} \right) \cr & \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\cos \left( {{3^x} \cdot \root 5 \of {2{x^3} + \sqrt x } } \right)} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{3^x} \cdot \root 5 \of {2{x^3} + \sqrt x } } \right) \cdot ( - 1) \cdot \sin \left( {{3^x} \cdot \root 5 \of {2{x^3} + \sqrt x } } \right) \cr & \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{3^x} \cdot \root 5 \of {2{x^3} + \sqrt x } } \right) = \frac{{{3^x}\left( {12{x^2}\sqrt x + 10x\ln (3)\left( {2{x^2}\sqrt x + 1} \right) + 1} \right)}}{{10\sqrt x \root 5 \of {{{\left( {2{x^3} + \sqrt x } \right)}^4}} }} \cr & \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\cos \left( {{3^x} \cdot \root 5 \of {2{x^3} + \sqrt x } } \right)} \right) = ( - 1) \cdot \frac{{{3^x}\left( {12{x^2}\sqrt x + 10x\ln (3)\left( {2{x^2}\sqrt x + 1} \right) + 1} \right)}}{{10\sqrt x \root 5 \of {{{\left( {2{x^3} + \sqrt x } \right)}^4}} }} \cdot \sin \left( {{3^x} \cdot \root 5 \of {2{x^3} + \sqrt x } } \right) \cr & \frac{\partial }{{\partial x}}{\left( {{\text{sh}}(x)} \right)^{{\text{arctg}}(x)}} = \frac{{{{\left( {{\text{sh}}(x)} \right)}^{{\text{arctg}}(x)}} \cdot \left( {{x^2}{\text{arctg}}(x){\text{cth}}(x) + \ln \left( {{\text{sh}}(x)} \right) + {\text{arctg}}(x){\text{cth}}(x)} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cr & \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{\text{ln}}\left( {{\text{tg}}\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right)} \right) = \frac{{\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{\text{tg}}\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right)}}{{{\text{tg}}\left( {\frac{x}{2}} \right)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) \cdot {\text{tg}}\left( {\frac{x}{2}} \right)}} = \frac{1}{{\sin x}} \cr & y' = ( - 1) \cdot \frac{{{3^x}\left( {12{x^2}\sqrt x + 10x\ln (3)\left( {2{x^2}\sqrt x + 1} \right) + 1} \right)}}{{10\sqrt x \root 5 \of {{{\left( {2{x^3} + \sqrt x } \right)}^4}} }} \cdot \sin \left( {{3^x} \cdot \root 5 \of {2{x^3} + \sqrt x } } \right) + \cr & + \frac{{{{\left( {{\text{sh}}(x)} \right)}^{{\text{arctg}}(x)}} \cdot \left( {{x^2}{\text{arctg}}(x){\text{cth}}(x) + \ln \left( {{\text{sh}}(x)} \right) + {\text{arctg}}(x){\text{cth}}(x)} \right)}}{{{x^2} + 1}} + \frac{1}{{\sin x}} \cr} $$ отвечен 3 Ноя '14 14:08 
night-raven |
Мне кажется, только второе слагаемое заслуживает внимания. Функции вида $%f(x)^{g(x)}$% записываем как $%e^{g(x)\ln f(x)}$%. Все остальное делается по обычным правилам, изложенным в учебнике.