матрицы - Выразить определитель произведения Kpoнeкepa

Квадратную матрицу можно привести к треугольному виду, используя гауссово преобразование строк одного типа, при котором к одной из строк разрешается прибавлять другую, умноженную на коэффициент. Это преобразование сохраняет определитель.

В процессе такого приведения мы согласованно меняем произведение Кронекера, имеющее блочную структуру того вида, который приведён здесь. Это касается как преобразования матрицы $%A$%, так и матрицы $%B$%. Если проделать всё естественным способом, то матрица Кронекера преобразуется таким образом, что станeт матрицей Кронекера преобразованных матриц. Её определитель при этом не меняется.

Если обе матрицы приобрели (верхне)треугольный вид, то их произведение Кронекера примет такой же вид. Определитель матрицы этого вида равен произведению диагональных элементов. Если они были равны $%\alpha_1$%, ... , $%\alpha_n$% у $%A$% и $%\beta_1$%, ... , $%\beta_q$% у $%B$%, то для произведения Кронекера они получат значения $%\alpha_i\beta_j$%, где $%1\le i\le n$% и $%1\le j\le q$%. Перемножая все такие элементы, мы видим, что каждое $%\alpha_i$% встретится в произведении $%q$% раз (с каждым "бета"), а $%\beta_j$% появится $%n$% раз. Поэтому определитель матрицы Кронекера будет равен произведению $%(\alpha_1\ldots\alpha_n)^q(\beta_1\ldots\beta_q)^n=(\det A)^q(\det B)^n$%.