математика - Натуральные числа x, y, z

Рассмотрим равенства по модулю 100. Из первого условия следует, что $%-x+y+10z+21$% делится на 100, а из второго -- что $%9x-9y+z-53$% делится на 100. Тогда из первого условия $%-9x+9y+90z+189$% кратно 100, то есть $%-9x+9y-10z-11$% делится на 100. Складывая, имеем, что $%-9z-64$% делится на 100, а это равносильно делимости на 100 числа $%9z-36$%. Таким образом, $%z-4$% делится на 100, и с учётом условия $%z < 100$% это значит, что $%z=4$%.

Система приобретает вид $%1099x+901y=139139$%, $%109x+991y=95849$%. В таком виде она может быть уже решена явно, но это неудобный способ. Можно, однако, заметить, что $%y-x$% равно $%39$% по модулю 100. Если $%y > x$%, то $%y=x+39$%, а если $%y < x$%, то $%x=y+61$%. Теперь можно рассмотреть два случая и сделать явную подстановку, но вместо этого мы рассмотрим уравнения по модулю 11, чтобы получить дополнительную информацию. Из первого уравнения следует, что $%x+y$% делится на 11, а из второго -- что $%-x+y-6$% делится на 11. Последнее согласуется с условием $%y=x+39$%, но не согласуется со вторым из условий. Тогда мы знаем, что $%2x+39$% делится на 11. Используя тот дополнительный факт, что $%x+y$% равно $%8$% по модулю 9, мы видим, что $%x+y+1=2x+40$% делится на 9. Можно сделать вывод, что $%x+3$% кратно 11 и $%x+2$% кратно 9, из чего легко найти $%x=52$% (даже подбором). В итоге $%x=52$%, $%y=91$%, $%z=4$%, и ответ становится ясен.