|
Найти все натуральные $%x$%, при которых выражение $%(x-1)^{(x+1)}-(x+1)^{(x-1)}$% делится на 5 без остатка. Пытался решать, используя предыдущие рассуждения, но при делении на 5 вариантов остатков больше и не нашел зависимости между остатками от деления числа на 5 и от деления степени этого числа на 5. задан 3 Ноя '14 21:12 
serg55 |
|
Здесь метод остатков от деления проходит, только он более громоздкий. Проще всего составить таблицу - как меняется остаток от деления на 5 при возведении в степень. Что-то вроде $$\begin{matrix}r^1 & r^2 & r^3 & r^4 & r^5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 3 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1 & 3\\4 & 1 & 4 & 1 & 4\end{matrix}$$ Здесь первая строка - степень, в которую возводим, а первый столбец - остатки от деления. Видим, что $%x^5\equiv x\mod 5$% (то есть при каждом увеличении степени на 4 остатки начинают повторяться). А дальше просто с помощью этой таблицы организовать перебор - выписать возможные остатки для выражения $%(x-1)^{x+1}$% и $%(x+1)^{x-1}$% и посмотреть, когда они совпадают. Тоже можно оформлять в виде таблицы. В частности, сразу видно, что если $%x\equiv 1\mod 5$% или $%x\equiv 4\mod 5$%, то остатки выражений заведомо разные. Если $%x\equiv 0\mod 5$%, то $%4^{x+1}\equiv 1\mod 5$% только лишь тогда, когда $%x+1\equiv 0\mod 4$% или $%x+1\equiv 2\mod 4$%. Отсюда получим, что $%x\equiv 15\mod 20$% или $%x\equiv 5\mod 20$%, соответственно. Модуль 20 возникает, так как числа 4 и 5 взаимно просты. То есть в последовательности $%5,10,15,20,25,\ldots$% Только каждое четвертое дает остаток 1 от деления на 4, начиная с 5. И каждое четвертое дает остаток 3 от деления на 4, начиная с 15. Аналогично для $%x\equiv 2\mod 5$% определяем, когда $%3^{x-1}\equiv 1\mod 4$%. Это возможно только при $%x\equiv 1\mod 4$%. Из чисел $%2,7,12,17,\ldots$% остаток 1 от деления на 4 дают только 17 и каждое следующее через 3 числа, то есть $%x\equiv 17\mod 20$%. Наконец, для $%x\equiv 2\mod 5$% остатки от деления на 5 выражений $%2^{x+1}$% и $%4^{x-1}$% равны только при $%x\equiv 3\mod 20$%. отвечен 3 Ноя '14 21:40 
cartesius |
|
Эта задача решается аналогично, но здесь период длиннее -- он равен 20. Поэтому вручную его искать хотя и можно, но это не слишком приятно. Поэтому желательно использовать некоторые общие факты. Прежде всего, если целое число $%a$% не делится на 5, то его можно представить в виде $%a=5k\pm r$%, где $%r\in\{1;2\}$%, $%k\in\mathbb Z$%. При возведении в квадрат получится остаток $%r^2$%, равный 1 или 4, поэтому $%a^2-1$% или $%a^2+1$% делится на 5. Поэтому $%a^4-1$% делится на 5: это частный случай малой теоремы Ферма. Отсюда следует, что остатки от деления на 5 у чисел вида $%a$%, $%a^2$%, ... , $%a^n$%, ... будут иметь период 4. Это же верно, когда $%a$% делится на 5 -- все остатки равны нулю, и через 4 члена они повторяются. Этих соображений должно быть достаточно, но перебор можно несколько упростить, заметив, что ни $%x+1$%, ни $%x-1$% на 5 у нас не делятся. Тем самым, остатки 1 и 4 можно не рассматривать. Если $%x$% кратно 5, то получается $%(-1)^{x+1}-1$%, и $%x+1$% чётно. Это даёт серию $%x=10k+5$%. Теперь рассмотрим остаток 2, получится $%1-3^{x-1}$%. Здесь периодичность остатков для степеней тройки понятна: это 1, 3, 4, 2 (начиная с нулевого показателя). Значит, $%x-1$% кратно 4, что даёт серию $%x=20k+17$%. Для случая остатка 3 будет $%2^{x+1}-4^{x-1}$%, и здесь с учётом 4-периодичности можно вручную исследовать 4 случая ($%x$% от 1 до $%4$%), замечая, что делимость на 5 имеет место при $%x=3$%. Поэтому $%x$% должно давать в остатке 3 при делении и на 5, и на 4, откуда $%x=20k+3$%. Таким образом, при делении на 20 число $%x$% должно давать один из остатков 3, 5, 15, 17. отвечен 3 Ноя '14 21:40 
falcao |