Найти inf и sup множества

Здесь оба значения достигаются: они равны 0 и 1/2 (второе -- при $%x=y=1$%). С точной нижней гранью всё ясно, и теперь достаточно проверить, что $%xy\le\frac12(x+y)$% при $%x,y\in[0;1]$%. Можно применить производную, но если без неё, что неравенство надо переписать в виде $%(x-\frac12)(y-\frac12)\le\frac14$%. В такой форме оно очевидно, так как числа $%|x-\frac12|$% и $%|y-\frac12|$% принадлежат отрезку $%[0;\frac12]$%, и надо перемножить два неравенства. Неравенство без модуля -- прямое следствие неравенства с модулем.