дифференциальные-уравнения - Уравнение в полных дифференциалах

Нужно найти такую функцию $%f(x,y)$%, для которой полный дифференциал будет равен выражению из левой части. Это значит, что $%\frac{\partial f}{\partial x}=\sin y+(1-y)\cos x$% и $%\frac{\partial f}{\partial y}=(1+x)\cos y-\sin x$%.

Первое уравнение рассматриваем как обыкновенное относительно $%x$%, где $%y$% играет роль константы. Интегрирование даёт $%f(x,y)=x\sin y+(1-y)\sin x+\varphi(y)$%, где $%\varphi(y)$% -- неизвестная функция. Аналогично для второго уравнения после интегрирования по $%y$% будет $%f(x,y)=(1+x)\sin y-y\sin x+\psi(x)$%.

Приравнивая оба полученных выражения и упрощая, приходим к условию $%\varphi(y)-\sin y=\psi(x)-\sin x$%. Это равенство верно для всех $%x$% и $%y$%, поэтому оно является константой. Следовательно, $%f(x,y)=(1+x)\sin y+(1-y)\sin x$% с точностью до абсолютной константы. Дифференциал этой функции равен нулю, то есть она постоянна, и решения (в виде неявных функций) записываются в виде $%(1+x)\sin y+(1-y)\sin x=C$%.