дифференциальные-уравнения - Дифференциальное уравнение

Если занести $%x$% под знак дифференциала, то получится уравнение $%(y^4-3f)dy+\frac12y\,df=0$%, где $%f=x^2$% рассматривается как функция от $%y$%. Получается неоднородное линейное уравнение с переменными коэффициентами: $%f'(y)-\frac{6}yf(y)=-2y^3$%. (Решение $%y=0$% учитывается отдельно.) Для однородного уравнения общее решение имеет вид $%Cy^6$%, поэтому ищем решение неоднородного уравнения в виде $%f(y)=C(y)y^6$%, применяя метод вариации постоянной. Это даёт $%C'(y)y^6+6C(y)y^5-6C(y)y^5=-2y^3$%, откуда $%C'(y)=-2y^{-3}$%, и $%C(y)=y^{-2}+k$%. В итоге получается условие $%x^2=y^4+ky^6$%, где $%k=\rm const$%.