стереометрия - Найти объем пирамиды

Условие перпендикулярности рёбер $%AB$% и $%CD$% здесь является избыточным: его можно вывести из остальных данных. В принципе, имеется формула, которая в явном виде позволяет выразить объём тетраэдра через квадраты длин его рёбер. Правда, она достаточно громоздка bи не слишком удобна в использовании. Вместо неё можно рассматривать другую формулу, выражающую объём через скалярные произведения. Ту и другую формулу можно увидеть здесь.

Обосновывается она сравнительно просто. Если на векторах построен параллелепипед, то его объём равен смешанному произведению векторов (по модулю), а оно вычисляется через определитель, образованный из координат векторов. Располагая координатами, такой формулой пользоваться удобно. Но в нашем случае они не известны, и тогда можно матрицу из координат умножить на транспонированную. Определители у них одинаковы, то есть получится квадрат определителя (объёма параллелепипеда). Легко понять, что получившаяся при этом матрица будет состоять из попарных скалярных произведений векторов системы (это так называемая матрица Грама системы векторов). Поскольку нас интересует объём тетраэдра, то он в 6 раз меньше объёма параллелепипеда, поэтому квадрат объёма будет в 36 раз меньше.

Эту формулу применить легко, потому что все скалярные произведения находятся по теореме косинусов. Например, $%\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}2=\frac{9+22-25}2=3$%, и аналогично для $%\vec{AB}\cdot\vec{AD}=3$% и $%\vec{AC}\cdot\vec{AD}=19/2$%. Заметим попутно, что равенство первых двух скалярных произведений как раз и означает, что $%\vec{AB}\cdot\vec{CD}=0$%, то есть это условие перпендикулярности двух рёбер.

Скалярные квадраты векторов системы нам известны, и теперь можно найти квадрат объёма тетраэдра: $$V^2=\frac1{36}\begin{vmatrix} 9 & 3 & 3 \\ 3 & 22 & 19/2 \\ 3 & 19/2 & 6 \end{vmatrix}=\frac{131}{16},$$ то есть объём пирамиды равен $%V=\frac{\sqrt{131}}4$%.

Другой способ решения, не использующий векторы и линейную алгебру, опирается на данный в условии факт перпендикулярности рёбер. А именно, можно через одно из рёбер провести плоскость перпендикулярно другому. Тетраэдр при этом будет разделён на две части, и общий объём будет равен 1/3 произведения перпендикулярного ребра на плоскость сечения.

Здесь есть небольшая тонкость: если плоскость проводить через $%AB$% перпендикулярно $%CD$%, то мы попадаем в тупоугольные грани тетраэдра, и секущая плоскость пересечёт продолжение ребра. Это не слишком удобно. Если же провести плоскость $%CKD$%, где $%CK$% и $%DK$% будут высотами граней $%ABC$% и $%ABD$%, то всё будет хорошо. Длины высот выражаются через стороны; при этом можно заметить, что $%AK=1$%, $%BK=2$%. После этого возникает треугольник $%CDK$% со сторонами $%3$%, $%\sqrt5$%, $%\sqrt{21}$% (угол при вершине $%D$% у него тупой). Площадь находится через стороны, а через неё находится объём.