В равнобедренный треугольник с основанием $%a$% и высотой $%h$% вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит на основании треугольника. Какова должна быть высота прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

задан 4 Ноя '14 17:54

изменен 4 Ноя '14 20:38

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%x$% -- сторона прямоугольника, лежащая на основании, а $%y$% -- его высота. Тогда возникают два подобных равнобедренных треугольника, у одного из которых основание и высота равны $%a$% и $%h$%, а у другого они равны $%x$% и $%h-y$% соответственно. Из пропорции $%h:a=(h-y):x$% можно выразить $%y=h-\frac{hx}a=\frac{h(a-x)}a$%, и тогда площадь прямоугольника будет равна $%S=xy=\frac{hx(a-x)}{a}$%. Теперь надо максимизировать произведение $%x(a-x)$% при $%0 < x < a$%. Это можно сделать многими способами. Например, можно рассмотреть квадратный трёхчлен $%x^2-ax$% и заметить, что наименьшее значение достигается при $%x=\frac{a}2$% (абсцисса вершины параболы). Можно вместо этого воспользоваться тождеством $%x(a-x)=\frac{a^2}4-(x-\frac{a}2)^2$%, из которого следует то же самое.

Таким образом, $%x=\frac{a}2$% равно средней линии (половине основания), а высота $%y=\frac{h(a-x)}a=\frac{h}2$% равна половине высоты треугольника.

ссылка

отвечен 4 Ноя '14 18:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,687
×2,911
×730
×443
×46

задан
4 Ноя '14 17:54

показан
1700 раз

обновлен
4 Ноя '14 18:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru