|
В учебнике геометрии приведена такая задача: В треугольнике $%ABC$% с углом $%B$%, равным $%...^\circ$%, проведены биссектрисы $%AA_1,BB_1$% и $%CC_1$%. Найдите угол $%B_1C_1C$%. Величина угла $%B$% в учебнике стерлась. Восстановите величину угла $%B$%. задан 5 Ноя '14 2:13 
EdwardTurJ |
|
Из соображений симметрии $%\angle B_1A_1A= \angle B_1C_1C$%. В $%\Delta {B_1}{C_1}C$% с помощью теоремы синусов находим: $%\cot \angle {B_1}{C_1}C = \frac{{a - b + 2c}}{{a + b}}\sqrt {\frac{{p(p - c)}}{{(p - a)(p - b)}}} $%. Из равенства углов $%\angle B_1A_1A$% и $%\angle B_1C_1C$% получаем: $%(a - b + 2c)(b + c)(a + b - c) = (2a - b + c)(a + b)( - a + b + c);$% $%2(a - c)({b^2} - {a^2} - {c^2} - ac) = 0$%, т.е. либо треугольник равнобедренный (а в условии задачи нет равнобедренности), либо $%\angle B = 120^\circ $%. Таким образом, задача из учебника такова: В треугольнике $%ABC$% с углом $%B$%, равным $%120^\circ$%, проведены биссектрисы $%AA_1,BB_1$% и $%CC_1$%. Найдите угол $%B_1C_1C$%. (Автор И.Ф.Шарыгин). отвечен 7 Ноя '14 1:06
EdwardTurJ 1
@EdwardTurJ: я пытался решать примерно таким способом, то есть старался выразить угол $%B_1C_1C$% через стороны или углы треугольника. Но выражения получались громоздкие, и я запутался. Там важно то, на какие именно элементы надо обратить внимание. Нельзя ли в связи с этим сказать пару слов насчёт формулы, выражающей котангенс угла? Каков её вывод?
(7 Ноя '14 1:22)
falcao
@falcao: $%\frac{sin(\gamma/2+\phi)}{sin\phi}=sin(\gamma/2)cot(\phi)+cos(\gamma/2)=\frac{CC_1}{B_1C}=\frac{2abcos(\gamma/2)/(a+b)}{ab/(a+c)}=\frac{2(a+c)cos(\gamma/2)}{a+c}$%, $%cot(\phi)=\frac{a-b+2c}{a+b}cot(\gamma/2)=\frac{a-b+2c}{a+b}\sqrt {\frac{{p(p - c)}}{{(p - a)(p - b)}}}$%.
(7 Ноя '14 1:58)
EdwardTurJ
@EdwardTurJ: спасибо за пояснение. Для меня здесь важно самое первое из равенств. Я рассчитывал на то, что есть какой-то более простой путь, поэтому не пытался применить формулу, где неизвестный угол с чем-то складывается. Думал, что это ведёт в "дебри". Но там одно слагаемое хорошо сокращается, и получается линейное уравнение. А дальше уже стратегия понятна.
(7 Ноя '14 2:15)
falcao
|