доказательство - Доказать неравенство

Неравенство равносильно тому, что $%(2a)^n+(2b)^n$% не меньше двух. Поэтому можно считать, что дано $%x+y=2$% и надо доказать $%x^n+y^n\ge2$%. Число $%n$%, как я понимаю, натуральное. Далее считаем, что $%n > 1$%, так как при $%n=1$% всё очевидно.

Можно рассмотреть функцию $%f(x)=x^n+(2-x)^n$%. Её производная обращается в ноль при $%x^{n-1}=(2-x)^{n-1}$%. Отсюда следует, что $%x=2-x$% независимо от показателя, так как $%x\ne x-2$%. Это даёт одну критическую точку $%x=1$%. Значение функции в ней равно $%2$%. Легко также заметить, что производная при переходе через неё меняет знак с минуса на плюс, поскольку $%f'(x)/n=x^{n-1}-(2-x)^{n-1} > 0$% тогда и только тогда, когда $%x > 1$%. При чётном $%n$% и нечётном показателе $%n-1$% это сразу ясно. Если же $%n$% нечётно, то получается $%|x| > |x-2|$%, а это значит, что точка $%x$% числовой прямой расположена к 2 ближе,чем к 0, то есть $%x > 1$%.

Таким образом, в точке $%x=1$% функция имеет глобальный минимум, откуда всё следует.

По-видимому, можно здесь применить и какие-то другие соображения типа выпуклости. Скажем, при чётных $%n$% функция выпукла вниз, и значение её в средней точке отрезка не превосходит полусуммы значений на концах. Это даёт неравенство $%\frac{x^n+y^n}2\ge(\frac{x+y}2)^2$%. Но для нечётных показателей это уже не работает, поэтому я решил использовать производную.