|
У меня такой вопрос: говорят, что разрыв, устранимый когда в точке разрыва можно так определить функцию, что она в ней станет непрерывной, но почему мы имеем право так делать? Передо мной стоит такая задача: доказать или опровергнуть: если функция равномерно непрерывна на интервале $%(a,b)$%(конечном или бесконечном), то существуют конечные пределы $%lim_{x->a+0}f(x), \ lim_{x->b-0}f(x)$%. Так ведь это интервал, а не промежуток, и поэтому на самом деле функция в концах неопределена, а про пределы я затрудняюсь сказать. ) задан 5 Ноя '14 20:15 
Dragon65 |
|
Мы вполне имеем право так делать, потому что рассматривается новая функция. Для неё обычно используют другое обозначение. Скажем, у меня была функция $%f(x)=\frac{\sin{x}}x$%. Я доопределил её в нуле и получил функцию $%g(x)$%, для которой $%g(0)=0$%, а при $%x\ne0$% берутся прежние значения: $%g(x)=f(x)$%. Это разные функции, так как у них разные области определения, и обозначения тоже разные. Противоречия тут нет, как нет его между высказываниями $%a=2$% и $%b=3$%. В формулировке, правда, участвует слово "она", но его не надо понимать буквально: имеется в виду, что новая функция $%g(x)$% станет непрерывной в точке $%x_0$%, а про старую этого сказать нельзя, так как она в этой точке не определена. Здесь происходит не отождествление, а "наследование". Ответ на вопрос о конечных пределах будет отрицательным. Если позволено брать $%a=-\infty$% и $%b=+\infty$%, то можно взять тождественную функцию $%f(x)=x$%. Она равномерно непрерывна на всей оси, так как в определении можно положить $%\delta=\varepsilon$%. Конечных пределов при стремлении к бесконечности не будет. Для случая конечных значений для $%a$% и $%b$% вопрос становится более интересным, но в условии допускаются бесконечные, поэтому общий ответ отрицателен. отвечен 5 Ноя '14 22:26 
falcao |