математический-анализ - Доказательства

1) Рассмотрим функцию $%\varphi_T(x)=f(x+T)-f(x)$% и последовательность $%x_n=x_0+nT.$% Пусть из неё нельзя выделить $%x_{n_k}$% такую, что $%\varphi_T(x_{n_k})$% стремится к 0 (если можно, то теорема доказана); тогда среди значений $%\varphi_T(x_n)$% лишь конечное число может равняться 0, остальные ограничены снизу по модулю.

а) Пусть лишь конечное число $%\varphi_T(x_n)$% положительны (для отрицательных будет аналогично). Тогда начиная с какого-то n все члены будут отрицательны, а так как они ограничены снизу по величине, имеем $%f(x_{n+k}) \leqslant f(x_n)+kC,$% что противоречит ограниченности f.

б) Пусть и отрицательных, и положительных $%\varphi_T(x_n)$% бесконечно много. Тогда бесконечно много таких n, что $%\varphi_T(x_n)>0,$% но $%\varphi_T(x_{n+1})<0.$% Значит, существует бесконечно много $%\xi_k \in (x_n,x_{n+1}),$% для которых $%\varphi_T(\xi_k)=0,$% и теорема доказана.

2) Очевидно, это так. Достаточно взять максимум из модулей непрерывности функции на отрезках, но если они оба стремятся к нулю в окрестности нуля, то и для их максимума это тоже верно.