|
Дано, что $%xyz=1; \ \frac1x+\frac1y+\frac1z \geq x+y+z;$% Доказать: $%\frac1{x^k}+\frac1{y^k}+\frac1{z^k} \geq x^k+y^k+z^k;$% где $%k$% -- натуральное. задан 6 Ноя '14 21:05 
stander |
|
Преобразуйте первое неравенство к виду $%(1-x)(1-y)(1-z)\ge0$%. Отсюда получаем $%(1-x^k)(1-y^k)(1-z^k)\ge0$%, что эквивалентно требуемому неравенству. отвечен 6 Ноя '14 21:26 
EdwardTurJ @EdwardTurJ: а как строго обосновать получение $%(1−x^k)(1−y^k)(1−z^k)≥0$% из $%(1−x)(1−y)(1−z)≥0$%?
(6 Ноя '14 22:25)
stander
1
Для положительного $%t$% выражения $%1-t$% и $%1-t^k$% одного знака. В условии задачи нужно добавить положительность переменных, иначе неравенство неверно для тройки $%-\frac{1}{2},-3,\frac{2}{3}$% и $%k=2$%.
(6 Ноя '14 22:36)
EdwardTurJ
@EdwardTurJ: но это же первоначальная постановка задачи. Нельзя её подстраивать под себя.
(6 Ноя '14 22:45)
stander
1
@stander: Проверьте, пожалуйста, что для указанной тройки чисел первые два условия выполняются, а неравенство для $%k=2$% не выполняется! В первоначальной постановке задачи ошибка!
(6 Ноя '14 22:57)
EdwardTurJ
@EdwardTurJ: да, вы правы. Но о положительности и вправду не сказано в источнике. Ошибка...
(6 Ноя '14 23:16)
stander
|