математический-анализ - Дифференцируемость

Функция $%f$% дифференцируема в точке $%x_0,$% если её приращение $%f(x_0 + h) - f(x_0)$% в этой точке представимо в виде $$f(x_0 + h) - f(x_0) = Ah + \alpha(h),$$ где $%\alpha(h) = o(h), \;\;h\to{0}.$%
Найдем приращение заданной функции $%x_0=0,$% учитывая, что $%f(0) = 0:$% $$f(x_0 + h) - f(x_0) = h^n \sin{\dfrac{1}{h}}$$ и потребуем, чтобы это приращение при $%h\to{0}$% можно было представить в виде суммы линейной функции $%Ah$% и бесконечно малой высшего порядка малости, чем $%h$% $$h^n \sin{\dfrac{1}{h}} = Ah + \alpha(h).$$ Отсюда, разделив обе части последнего равенства на $%h \ne {0},$% получим $$h^{n-1} \sin{\dfrac{1}{h}} = A + \dfrac{\alpha(h)}{h}.$$ Последнее равенство может иметь место только в случае $%n>1$% (здесь учитывается то обстоятельство, что $%\sin{\dfrac{1}{h}}$% не имеет предела при $%h\to{0}$%), и при этом получаем $%A = 0.$%