Если $%n>1$%, то доказать, что

$$\frac1n+\frac1{n+1}+...+\frac1{n^2-1}+\frac1{n^2}>1$$

задан 6 Ноя '14 22:32

изменен 7 Ноя '14 22:22

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%a_n=\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n^2}$%. Ясно, что $%a_2=\frac12+\frac13+\frac14 > 1$%.

Сравним соседние члены. Можно заметить, что $%a_{n+1}-a_n=-\frac1n+(\frac1{n^2+1}+\cdots+\frac1{n^2+2n})+\frac1{(n+1)^2}$%. В скобки взято $%2n$% слагаемых, каждое из которых не меньше последнего из них. Поэтому сумма в скобках не меньше $%\frac2{n+2}\ge\frac1n$% при $%n\ge2$%. Таким образом, последовательность строго возрастает, откуда всё следует.

ссылка

отвечен 7 Ноя '14 0:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,446
×549

задан
6 Ноя '14 22:32

показан
530 раз

обновлен
7 Ноя '14 0:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru