доказательство - Доказать неравенство

Неравенство $%(n!)^2>n^n$% можно доказать с использованием метода математической индукции, однако его можно доказать и без привлечения этого метода, используя мультипликативный аналог приёма Гаусса. Записывая $%(n!)^2$% в прямом и обратном порядке, получим $$(n!)^2 = [1\cdot 2 \cdots (n-1)\cdot n]\cdot[n\cdot (n-1) \cdots 2\cdot 1]= \prod_{k=1}^{n}{k(n+1-k)} . $$ Теперь покажем, что каждый множитель этого произведения $%{k(n+1-k)} \geqslant n.$% Действительно, $$k(n+1-k) - n = kn + k -k^2 - n = n(k-1) -k(k-1)=(k-1)(n-k) \geqslant 0$$ при $%1 \leqslant k \leqslant n,$% следовательно, $$\prod_{k=1}^{n}{k(n+1-k)} \geqslant \prod_{k=1}^{n}{n} = n^n.$$