Решить уравнение $$7^m+7^n=a^b$$ в натуральных числах $%m, n, a$% и $%b$%, если известно, что $%b>1$%.

Я думаю, что может получиться только куб, то есть $%b$% может быть равно только $%3$%. Действительно, степень семёрки с натуральным показателем может давать только остаток $%7$% или $%1$% при делении на $%16$%, а значит сумма двух степеней семёрки - только остаток $%2$%, $%8$% или $%14$% при делении на $%16$%, то есть число двоек в разложении этой суммы на множители будет равно либо $%1$%, либо $%3$%, откуда видно, что степень может быть либо первая (но это исключается условием задачи), либо куб.
С другой стороны, куб подходит. Более того, можно таким образом получить счётное множество кубов: $$7^{3k}+7^{3k+1}=8\cdot 7^{3k}=2^3\cdot (7^k)^3=(2\cdot 7^k)^3.$$

Вопрос лишь в том, исчерпываются ли вышеописанными кубами все решения исходного уравнения?

задан 7 Ноя '14 2:54

изменен 8 Ноя '14 15:00

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Да, исчерпываются. Ясно, что $%m\ne n$%, так как $%2\cdot7^n$% не является истинной степенью (то есть степенью с показателем 2 или более). Пусть $%m < n$%. В левой части будет $%7^m(7^k+1)$%, где $%k=n-m$%. Сомножители взаимно простые, а в правой части находится $%a^3$%. Значит, оба сомножителя будут кубами, и $%m$% кратно трём. Осталось показать, что уравнение $%7^k+1=c^3$% не имеет решений в натуральных числах кроме $%k=1$%, $%c=2$%.

Пусть $%7^k=c^3-1=(c-1)(c^2+c+1)$%. Оба сомножителя -- степени семёрки. Если $%c-1\ne1$%, то $%c$% при делении на 7 даёт в остатке 1, и тогда второй сомножитель даёт в остатке 3, и тем самым степенью семёрки не является.

ссылка

отвечен 7 Ноя '14 3:21

@falcao, большое спасибо!

(7 Ноя '14 3:32) حنين
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×878
×370
×159

задан
7 Ноя '14 2:54

показан
855 раз

обновлен
7 Ноя '14 3:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru