Найти все значения параметра $%a$%, при каждом из которых уравнение $$\frac{1-2a\sqrt{1+x^2}+a(1+x^2)}{1+x^2-2\sqrt{1+x^2}}=3$$ имеет хотя бы одно решение.

задан 7 Ноя '14 18:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%y=\sqrt{1+x^2}$% (это выражение слишком часто повторяется). Ясно, что $%y\ge1$%, и решать уравнение можно относительно $%y$% с учётом только что указанного неравенства. В знаменателе дроби находится $%y^2-2y$%, откуда $%y\ne2$%, и можно произвести домножение: $%ay^2-2ay+1=3y^2-6y$%. Понятно, что $%a\ne3$%, и получается квадратное уравнение $%(a-3)y^2-2(a-3)y+1=0$%. Удобно разделить на $%a-3$% и выделить полный квадрат: $%(y-1)^2=1-\frac1{a-3}=\frac{a-4}{a-3}$%. Понятно, что число в правой части неотрицательно, и оно не равно единице. При таких условиях имеется решение $%y=1+\sqrt{\frac{a-4}{a-3}}\ge1$%, отличное от двойки. Следовательно, $%a\in(-\infty;3)\cup[4;+\infty)$%.

P.S. Можно также было применить замену вида $%z=1+x^2-2\sqrt{1+x^2}=(\sqrt{1+x^2}-1)^2-1$%, но по сути это то же самое.

ссылка

отвечен 7 Ноя '14 18:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×580

задан
7 Ноя '14 18:20

показан
907 раз

обновлен
7 Ноя '14 18:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru