топология - Открытое множество

Вместо прямой будем рассматривать гомеоморфное ей пространство $%(0;1)$%. Возьмём число $%x\in(0;1)$% и представим его бесконечной двоичной дробью $%0.x_1x_2\ldots x_n\ldots$% без единицы в периоде. Разряды числа запишем в матрицу с бесконечным числом строк и столбцов в следующем порядке: $%a_{11}$%; $%a_{12}$%, $%a_{21}$%; $%a_{13}$%, $%a_{22}$%, $%a_{31}$%; ... , то есть по диагоналям. Строкам сопоставим числа $%\alpha_k=2^{-1}a_{2k-1,1}+2^{-2}a_{2k-1,2}+\cdots+2^{-n}a_{2k-1,n}+\cdots$% для нечётных номеров строк и $%r_k=2^{-1}a_{2k,1}+2^{-2}a_{2k,2}+\cdots+2^{-n}a_{2k,n}+\cdots$% для чётных номеров строк. Здесь у отдельных номеров строк может возникать 1 в периоде, но суммы рядов при этом всё равно определены; получатся числа отрезка $%[0;1]$%.

Числам $%\alpha_k$%, $%r_k$% сопоставляем открытый интервал $%J_k=(\alpha_k-r_k;\alpha_k+r_k)$%, пересечённый с $%(0;1)$%. Возможно, что $%r_k=0$% -- при этом соответствующее множество будет пусто. Если число $%y\in(0;1)$% принадлежит хотя бы одному из $%J_k$%, то пару $%(x,y)$% включаем в множество $%{\cal U}\subset(0;1)^2$%. Удобно при этом считать, что $%x$% не является двоично-рациональным: таким числам мы ничего не сопоставляем.

Проверить теперь надо две вещи: что среди вертикальных сечений $%{\cal U}$% встречаются все открытые подмножества единичного интервала, а также то, что $%{\cal U}$% открыто в$%(0;1)^2$%.

Проверим первое условие. Известно, что всякое открытое подмножество прямой (а также интервала) есть не более чем счётное объединение интервалов. Полезно не обращать внимание на то, что интервалы можно выбрать непересекающимися. Заметим, что пустое подмножество интервала у нас есть: достаточно взять любую ненулевую матрицу, у которой все строки с чётными номерами нулевые. Она соответствует некоторому числу $%x$%. Радиусы интервалов можно считать сколь угодно малыми; нам достаточно, чтобы они были строго меньше 1. Самих интервалов будет бесконечно много, если мы разрешаем им повторяться. Таким образом, непустое открытое множество интервала мы представляем как $%\cup_{k\ge1}I_k$%, беря за $%\alpha_k$% центр $%I_k$% и за $%r_k$% расстояние от него до концов. Эти числа записываем двоичными дробями без 1 в периоде в строках матрицы. По ним, читая её по диагоналям, восстанавливаем значение $%x$%. Понятно, что $%\{y\in(0;1)\mid(x,y)\in{\cal U}\}$% будет по построению совпадать с объединением интервалов вида $%I_k$%.

Теперь проверяем второе условие. Берём $%(x,y)\in{\cal U}$% и доказываем, что точки достаточно близкой окрестности тоже принадлежат $%{\cal U}$%. Для этого достаточно указать ограничения по каждой координате, при которых указанное свойство будет выполнено.

Рассмотрим матрицу, сопоставленную $%x$%. По построению, число $%y$% принадлежит некоторому интервалу с центром $%\alpha_k$% радиуса $%r_k$%. Ясно, что если изменить центр и радиус на достаточно малую величину, то $%y$% останется в изменённом интервале. Верно также то, что если $%y$% изменить на достаточно малую величину, то число останется в интервале. Можно зафиксировать то количество двоичных знаков для $%y$%, которое гарантирует нужную точность. Также можно зафиксировать количество разрядов для $%\alpha_k$% и $%r_k$%, не меняя которые, мы не нарушаем свойства числа $%y$% (даже слегка изменённого) принадлежать рассматриваемому интервалу. Теперь ограничение по координате $%y$% берём в соответствии с описанным выше, а для $%x$% поступаем так: берём столько диагоналей матрицы, чтобы в них вместились все те разряды чисел $%\alpha_k$% и $%r_k$%, которые мы решили не трогать. Теперь точность по координате $%x$% легко задать: надо "заморозить" конечное число разрядов, а потом найти стоящую правее них единицу. Она непременно есть, так как $%x$% не является двоично-рациональным. Далее надо найти 0 правее этой единицы: он точно есть, так как нет 1 в периоде. После этого полагаем погрешность равной $%2^{-m}$%, где 0 стоит в $%m$%-м разряде. Ясно, что при изменении числа $%x$% на величину порядка $%2^{-m}$% все важные для нас разряды останутся неизменными.