5
1

Пьер и барон Мюнхаузен по-разному доказали равенство: $$\sqrt[3]{{2+\sqrt 5}}+\sqrt[3]{{2 - \sqrt 5}}=1.$$ Пьер решал так: возведением в куб равенства $%\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }} = x$% получил кубическое уравнение $%{x^3} + 3x - 4 = 0$%, которое имеет только один действительный корень $%x = 1$%.

Барон Мюнхаузен доказал же равенство, записав тождество: $%2 \pm \sqrt 5 = {\left( {\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^3}$%, и утверждает, что выделением полного куба решаются все аналогичные равенства.

Прав ли Барон Мюнхаузен, то есть если имеет место равенство $%\sqrt[3]{{a + \sqrt b }} + \sqrt[3]{{a - \sqrt b }} = c$%, где $%a,b$% и $%c$% - рациональные, $%b>0,c\ne0$%, $%\sqrt b$% - иррациональное, то всегда ли найдутся такие рациональные $%p$% и $%q$%, что $%a \pm \sqrt b = {\left( {p \pm \sqrt q } \right)^3}$%?

задан 8 Ноя '14 0:11

изменен 13 Май '15 0:13

10|600 символов нужно символов осталось
3

Ясно, что $%\forall a,b \in \mathbb Q_+ \space\exists p, q\in\mathbb R\!\!: \space a\pm \sqrt{b}=(p\pm\sqrt{q})^3.$% Более того, $%a=p^3+3pq, \space b=(3p^2 +q)^2q.$% Очевидно, что в нашей задаче рациональное р - это с/2, поэтому остаётся вопрос: обязательно ли $%q\in \mathbb Q,$% если $%p \in \mathbb Q$% и $%a=p^3+3pq\in \mathbb Q$%? Очевидно, ответ - да.

Поэтому $%p=c/2, q=\dfrac{a-p^3}{3p}.$%

ссылка

отвечен 9 Ноя '14 1:39

изменен 9 Ноя '14 1:44

10|600 символов нужно символов осталось
4

Все равенства описываются так: $$\sqrt[3]{{a+\sqrt{{\left(\frac{a+c^3}{3c}\right)^2}\cdot\frac{8a-c^3}{3c}}}}+\sqrt[3]{{a-\sqrt{{\left({\frac{a+c^3}{3c}}\right)^2}\cdot\frac{8a-c^3}{3c}}}}=$$ $$=\sqrt[3]{{a+\left(\frac{{a+c^3}}{3c}\right)\sqrt{\frac{8a-c^3}{3c}}}}+\sqrt[3]{{a-\left(\frac{{a+c^3}}{3c}\right)\sqrt{\frac{8a-c^3}{3c}}}}=$$ $$=\sqrt[3]{{\left({\frac c2 +\sqrt{\frac{{8a-c^3}}{12c}}}\right)^3}}+\sqrt[3]{{\left({\frac c2 -\sqrt{\frac{{8a-c^3}}{12c}}}\right)^3}}=c.$$

ссылка

отвечен 9 Ноя '14 11:44

изменен 13 Май '15 0:13

@EdwardTurJ: а как можно знать 2±√5=((1/2)±(√5/2))^3 если 1 не известен.Например 9+ √80=(p+√q)^3?

(27 Июл '19 16:42) kerim
1

@kerim: $%a=9$%,$%{\left(\frac{a+c^3}{3c}\right)^2}\cdot\frac{8a-c^3}{3c}=5\Rightarrow c=3.$%

(27 Июл '19 22:28) EdwardTurJ
1

@kerim: если число в таком виде представимо, то числа p, q можно найти, решив систему. В данном случае (3/2+sqrt(5)/2)^3=9+sqrt(80).

(27 Июл '19 22:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,328
×71

задан
8 Ноя '14 0:11

показан
13448 раз

обновлен
27 Июл '19 22:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru