|
$$6^{2n-2} + 3^{n-1} + 3^{n+1}$$ Доказать, что делится на $%11$%. задан 8 Ноя '14 10:32 
NameOff |
|
$$\begin{array}{l} {6^{2n - 2}} + {3^{n - 1}} + {3^{n + 1}} = {\left( {{3^{n - 1}}} \right)^2} \cdot {2^{2n - 2}} + {3^{n - 1}} + {3^{n + 1}} = {3^{n - 1}} \cdot \left( {{3^{n - 1}} \cdot {2^{2n - 2}} + 1 + {3^2}} \right) = \\ {3^{n - 1}} \cdot \left( {{3^{n - 1}} \cdot {2^{2n - 2}} + 10} \right) = {3^{n - 1}} \cdot \left( {{3^{n - 1}} \cdot {4^{n - 1}} + 10} \right) = {3^{n - 1}} \cdot \left( {{{12}^{n - 1}} + 10} \right) = \\ {3^{n - 1}} \cdot \left( {\underbrace {{{12}^{n - 1}} - 1}_{11N} + 11} \right) = \left[ \begin{array}{l} {12^{n - 1}} - 1 = {12^{n - 1}} - {1^{n - 1}} = \\ \left( {12 - 1} \right) \cdot \left( {{{12}^{n - 2}} + {{12}^{n - 3}} + ... + 12 + 1} \right) = \\ 11 \cdot N \end{array} \right] = \\ {3^{n - 1}} \cdot \left( {11N + 11} \right) = 11 \cdot {3^{n - 1}} \cdot \left( {N + 1} \right) \end{array}$$ отвечен 8 Ноя '14 11:41 
Igore |
Здесь надо воспользоваться тем, что $%a^m-b^m$% кратно $%a-b$%. Это следует из известного тождества $%a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+\cdots+b^{m-1})$%. В частности, $%36^{n-1}-3^{n-1}$% делится на 33, а потому и на 11. Сумма второго и третьего слагаемого в условии равна $%10\cdot3^{n-1}$%, а это всё равно как если бы мы вычитали $%3^{n-1}$% с точностью до кратного 11.