Функция $%f=(1-\cos(xy)+y)^2+(\sin(x+y+2)+x^2)^3$% ограничена снизу -1, я нашел локальный минимум, из ограниченности следует, что у функции должен быть глобальный минимум, т.к. локальный был единственным, следовательно он же и глобальный?

задан 8 Ноя '14 17:51

изменен 10 Ноя '14 18:51

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

А какой у Вас получился локальный минимум? Тут сразу как-то не видно, каков он.

Глобальный минимум здесь существует, но его существование надо обосновывать. Дело в том, что область здесь не является ограниченной. Но зато функция стремится к бесконечности при $%(x,y)\to\infty$%, и можно рассмотреть круг, вне которого значения по модулю больше чего-то -- скажем, $%|f(0;0)|$%. Тогда на круге как на замкнутой ограниченной области функция принимает наименьшее значение, и оно будет глобальным минимумом. Если доказано, что локальный минимум при этом один, то это он и есть.

(8 Ноя '14 19:39) falcao

Вообще сама точка получилась (-0.192,-1.060),а=1.44887, это мат пакет помог, на функцию также были наложены ограничения, нашлись и другие точки, но они не удовлетворяли ограничениям, поэтому осталась единственная точка, являющаяся локальным минимумом, или то что она единственна нужно доказывать отдельно? И то, что остальные точки не подошли, еще не доказывает единственность? (Сами точки искались в мат пакете, но с применением необходимого условия для существования локального минимума.)

(8 Ноя '14 20:57) Linkl

@Linkl: я правильно понимаю, что Вы находите точки приближённо, пользуясь численными методами? Тут надо проявлять осторожность, потому что математические пакеты программ решают такого рода задачи с большими "огрехами". Те методы, которые при этом используются, часто далеки от совершенства. Могло оказаться так, что методом градиентного спуска был найден какой-то один из локальных минимумов. Это само по себе ничего не значит, если нет математического доказательства единственности.

А как такая функция возникла? Она выглядит не очень естественно; такое ощущение, что пример взят в учебных целях.

(8 Ноя '14 21:45) falcao

Вообще ограничения вот такие:
$%g_1 = (1+y^3)-x<=0;$%
$%g_2 = -(x-4)^2+(y+4)^2+20<=0;$%
$%g_3 = (x-2)^2+(y+1.5)^2-5<=0;$% Да, пример искусственен(и собственно и взят для того чтобы в пакете его просчитать),а так вообще, если например вбить эти ограничения и функцию в тот-же вольфрам, то он показывает один глобальный минимум, я смотрел в другом мат. пакете, и вот нашлась единственная точка локального минимума, поэтому и встал вопрос о доказательстве того что он же будет и глобальным, так как оба пакета нашли одну и туже точку, но видимо, нужно еще каким-то образом доказать единственность

(9 Ноя '14 19:17) Linkl

@Linkl: если минимум вычислялся на области, то возможно, что туда не попадают те точки, о которых я упомянул (скажем (0,0) не годится для g3). Но математически доказать это, наверное, не слишком просто. Во-первых, надо отдельно изучать точки границы. Там всюду есть связь между x, y, и тогда после подстановки будет функция от одной переменной. Она исследуется попроще. Я не знаю, является ли найденная программами точка граничной или внутренней -- это легко проверить. Далее, можно попробовать численно решить систему, в которой частные производные равны нулю, если точка внутренняя.

(9 Ноя '14 19:41) falcao

Это получилась граничная точка, как исследовать в таком случае?

(9 Ноя '14 23:06) Linkl

@Linkl: я вижу только такой путь. Рассмотреть по отдельности каждое из граничных условий. Там одна из переменных выражается. Подставляем его в исходную функцию. Она будет от одной переменной, поэтому исследуется на минимум более просто. Делаем это для каждого граничного условия. Потом численно решаем систему из двух уравнений из частных производных, приравнивая их к нулю. Получаем критические точки. Их число, вероятнее всего, конечно. Часть из них может попасть в область. Находим значения в этих точках, потом сравниваем с минимумом на границе.

(10 Ноя '14 1:19) falcao

Я правильно понимаю, что системы будут вида функция + условие, и их будет три?

(10 Ноя '14 10:35) Linkl
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Приходится отвечать здесь, так как в комментариях место уже исчерпано.

Допустим, мы исследуем первое граничное условие $%g_1=0$%. Тогда ясно, что $%x=1+y^3$%, и это значение мы можем подставить в выражение $%f(x,y)$%, получая функцию от $%y$%. Её можно исследовать на минимум численными методами, но придётся учитывать то, что для данных значений $%x$%, $%y$% должны быть справедливы неравенства $%g_2\le0$%, $%g_3\le0$%. Учёт первого условия ведёт к удалению из области определения некоторого интервала примерно от 0.95 до 1.9. Учёт последнего условия, напротив, ведёт к тому, что значения $%y$% лежат в пределах примерно от -1.06 до 0.59. Значит, на этом отрезке и надо рассматривать функцию $%f(1+y^3,y)$%. Из графика, кстати, видно, что минимум наблюдается где-то примерно при $%y=0.35$%. Вроде бы там все ограничения выполнены, хотя я могу и ошибаться.

Аналогично исследуются остальные случаи, то есть $%g_2=0$% и $%g_3=0$%. Что касается точки, в которой частные производные равны нулю, то я не проверял в деталях, но в одной из таких точек значение получается какое-то большое, и я не уверен, что она вообще удовлетворяет ограничениям.

Судя по всему, тут можно всё понять до конца несмотря на искусственный вид функций.

ссылка

отвечен 10 Ноя '14 17:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×649
×295
×158
×145
×54

задан
8 Ноя '14 17:51

показан
894 раза

обновлен
10 Ноя '14 17:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru