Какие точки на данной кривой второго порядка удалены на наименьшее расстояние от данной прямой? Найти это расстояние. Кривая: $%6x^2-5y^2=19$%. Данная прямая: $%12x+5y=0$%

задан 9 Ноя '14 2:45

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим вектор нормали к кривой в точке $%(x,y)$%. Он имеет координаты $%(12x,-10y)$%. Кривая не пересекается с прямой, и нас интересует случай, когда при движении прямой параллельно себе произойдёт касание. Вектор нормали к прямой имеет координаты $%(12;5)$%, и тогда оба вектора должны быть параллельны, откуда $%x=-2y$%. Подстановка в уравнение кривой даёт координаты возможных точек касания: это $%y=1$%, $%x=-2$% и симметричная ей точка относительно начала координат. Её по этой причине можно не рассматривать.

Надо найти расстояние от точки $%(-2;1)$% до прямой, что можно сделать по формуле. Получится $%d=\frac{|12\cdot(-2)+5\cdot1|}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{19}{13}$%.

ссылка

отвечен 9 Ноя '14 3:19

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим квадратичную форму как $%q(x, y),$% а линейную - как $%l(x, y).$% Условие экстремума расстояния звучит как $$\left(\dfrac{\partial q(x, y)}{\partial x},\dfrac{\partial q(x, y)}{\partial y}\right)=\lambda\left(\dfrac{\partial l(x, y)}{\partial x},\dfrac{\partial l(x, y)}{\partial y}\right).$$ В нашем случае $%(12x, -10y)=\lambda(12, 5),$% из чего следует $%x=-2y.$%

$%24y^2-5y^2=19\\19y^2=19\\y=\pm1\Rightarrow x=\mp 2, \,|\!12x+5y|=19, \:d=\dfrac{19}{\sqrt{12^2+5^2}}=\dfrac{19}{13}.$%

ссылка

отвечен 9 Ноя '14 3:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×712
×40
×39

задан
9 Ноя '14 2:45

показан
2256 раз

обновлен
9 Ноя '14 3:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru