|
Вычислить произведение $$\prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}$$ задан 9 Ноя '14 18:10 
EdwardTurJ |
|
Если $%\varepsilon_0=1, \varepsilon_1, \varepsilon_2$% - корни 3-й степени из 1, то $%\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 0$%, и $$\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n^3}\right)=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{\varepsilon_0}{n}\right)e^{-\frac{\varepsilon_0}{n}}\cdot \prod\limits_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{\varepsilon_1}{n}\right)e^{-\frac{\varepsilon_1}{n}} \cdot \prod\limits_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{\varepsilon_2}{n}\right)e^{-\frac{\varepsilon_2}{n}},$$ т.к. сходимость всех трёх произведений известна, и в правой части получается: $$\frac{e^{-C(\varepsilon_0+\varepsilon_1+\varepsilon_2)}}{\Gamma(1+\varepsilon_0)\Gamma(1+\varepsilon_1)\Gamma(1+\varepsilon_2)}=\frac{1}{\Gamma(2)\Gamma(z)\Gamma(1-z)},$$ где $%z=1+\varepsilon_1$%, и если заменить произведение гамма-функций в знаменателе на синус, то получить окончательное выражение несложно. отвечен 10 Ноя '14 23:11 
splen Лучше даже положить $%z= \frac{1}{2}+\varepsilon_1 = i \frac{\sqrt{3}}{2}$% и воспользоваться равенством $$\Gamma \left(\frac{1}{2} +z \right)\Gamma \left(\frac{1}{2} - z \right) = \frac{\pi}{cos(\pi z)}$$
(10 Ноя '14 23:18)
splen
|
Вчера некоторое время думал над этой задачей. Ответ мне уже известен: это $%\frac1{\pi}\cosh\pi\frac{\sqrt3}2$%. Доказывать это я пока не умею, хотя идея была такая: брать разложение на множители и рассматривать бесконечные произведения множителей вида $%1-\frac{z}n$% для чисел $%z=\frac{1\pm\sqrt3}2$%. Там должно получиться что-то типа произведения из формулы Эйлера, но не с синусом, а с чем-то другим.
Я также пробовал рассматривать производящий ряд с коэффициентами, равными частичным произведениям. Соответствующая функция удовлетворяет дифф. уравнению 2-го порядка, но оно сложное.
@falcao: Да, определение гамма-функции по Вейерштрассу для указанных Вами чисел.