теория-вероятностей - Плотность вероятности

Обычно такие задачи решаются через функцию распределения. Для исходной величины она имеет вид $%F(x)=P(X < x)=(x+2)/3 $% при $%-2\le x\le 1$%, 0 при x<2 и 1 при x > 1. Это можно получить интегрированием или просто использовать то, что F линейна на [-2; 1]. Ясно, что Y принимает значения от 0 до 32.

Найдем значения функции распределения для Y при $%0\le y \le 32$%. Имеем $$G(y) = P(Y < y) = P(|X^5| < y)= P(-\sqrt[5]{y}\le X \le \sqrt[5]y)=F(\sqrt[5]y)-F(-\sqrt[5]y).$$ Приходится рассматривать 2 случая.

1. $%0\le y \le 1$%. Тогда оба числа $%-\sqrt[5]y, \sqrt[5]y$% лежат на отрезке $%[-2;1]$%, так что $%G(y)=(\sqrt[5]y+2)/3-(-\sqrt[5]y+2)/3.$%
   
2. $%1< y \le 32$%. Тогда $%F(\sqrt[5]y)=1$% и $%G(y)=1-(-\sqrt[5]y+2)/3.$%
3. Вне промежутка [0; 32] $%G(y)=const$% (0 или 1).

Теперь плотность распределения Y можно найти как производную от G.