Существуют ли 2014 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?

Я думаю, что да, и попытаюсь доказать это по индукции.
База индукции:
Четыре таких числа существуют, это 1, 3, 8 и 12, их сумма равна 24 и НОК тоже.
Шаг индукции:
Пусть у нас уже имеется 3n+1 таких чисел, и их сумма равна S. Тогда добавим к нашему супнабору числа 3S, 8S и 12S. Сумма чисел в новом наборе будет равна 24S и НОК тоже. Таким образом, для любого натурального числа, превышающего единицу и дающего остаток 1 при делении на 3, множество с искомым свойством существует.
Осталось лишь заметить, что число 2014 тоже даёт остаток 1 при делении на 3.

Чем мне не нравится моё решение? Да тем, что если в условии вместо 2014 поставить 2015, то придётся придумывать новое решение. А хотелось бы, чтобы решение покрывало все потенциально возможные случаи.

задан 10 Ноя '14 2:01

изменен 10 Ноя '14 19:30

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

А одинаковые числа допускаются по условию? Если нет, то при описанном способе будут происходить повторения за счёт присутствия единицы в начале.

(10 Ноя '14 2:07) falcao

А где Вы там повторение увидели? Каждое следующее число больше предыдущего.

(10 Ноя '14 2:09) حنين

У Вас в начале был набор S={1,3,8,12}. Сказано, что к нему добавляется 3S={3,9,24,36}. Тройка повторяется. Или я что-то не так понял?

(10 Ноя '14 2:24) falcao

Это я виновата, плохо объяснила. У нас сумма равна S (на первом шаге это 24). Тогда добавим 3S, 8S и 12S, сиречь 72, 192 и 288. И получим новый набор: 1, 3, 8, 12, 72, 192, 288, в котором уже не 4 числа, а целых 7. Затем аналогично получим набор из 10 чисел, потом из 13, и так далее, пока не получим 2014 чисел.

(10 Ноя '14 2:29) حنين

Да, у Вас там ведь сказано, что добавляются именно числа, а не множества (само S означало сумму). Это я интерпретировал неправильно.

(10 Ноя '14 2:35) falcao

Плохо лишь то, что моё решение работает только тогда, когда требуется найти 3n+1 чисел с заданным свойством. То есть для 2014 чисел работает, а для 2013 или 2015 никак.

(10 Ноя '14 2:37) حنين

А что если брать более простую последовательность 1,2,3, а потом к имеющейся последовательности с суммой s добавлять числа 2s и 3s? Тогда из неё получаются все последовательности с нечётным количеством членов, а из Вашей -- с чётным.

(10 Ноя '14 3:34) falcao

@falcao, из моей - НЕ только чётные: 4, 7, 10, ...

(10 Ноя '14 12:12) حنين
1

В комментариях уже нет места, поэтому продолжаю здесь.

Если была последовательность с нужными свойствами, имеющая сумму $%s$% (какая угодно), то к ней можно добавить два новых числа, а именно $%2s$% и $%3s$%. Сумма станет равна $%6s$%, и наименьшее общее кратное тоже.

Если взять Вашу последовательность 1, 3, 8, 12, а потом добавлять не по три числа, как у Вас, а по два, как описано выше, то и будут получаться последовательности с чётным количеством членов:

1, 3, 8, 12, 48, 72

1, 3, 8, 12, 48, 72, 288, 432

и так далее.

(10 Ноя '14 12:30) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,057
×953
×331
×220
×41

задан
10 Ноя '14 2:01

показан
1081 раз

обновлен
10 Ноя '14 12:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru