математика - Решите систему неравенств

Первое неравенство: $%3\cdot7^x+4\cdot7^{1-x}\ge19$%. Сделаем замену $%t=7^x > 0$% и домножим на $%t$%, получая равносильное квадратичное неравенство: $%3t^2-19t+28\ge0$%. Корни квадратного трёхчлена равны $%4$% и $%\frac73$%. Отсюда $%7^x\le\frac73$% или $%7^x\ge4$%, то есть $%x\in(-\infty;1-\log_73]\cup[2\log_72;+\infty)$%.

Второе неравенство: $%3-\log_{4/5}(0,64x)\cdot\log_x(4/5)\ge0$%.

Положим $%y=\log_x(4/5)$%. Заметим, что $%x > 0$% и $%x\ne1$%. При этих условиях, по известным свойствам логарифмов, $%\log_{4/5}(0,64x)=\log_{4/5}(16/25)+\log_{4/5}x=2+1/y$%.

Второе неравенство принимает вид $%3-(2+1/y)y\ge0$%, то есть $%y\le1$%. Выясним, что это значит. Если $%x > 1$%, то $%\log_x{4/5}\le1$% превращается в $%4/5\le x$%, что при $%x > 1$% верно автоматически. Если $%0 < x < 1$%, то $%4/5\ge x$%, что ведёт к условию $%x\in(0;4/5]$%. Таким образом, множество решений второго неравенства имеет вид $%x\in(0;4/5]\cup(1;+\infty)$%.

Теперь надо сравнить границы интервалов из первого и второго неравенства. Ясно, что $%\log_7\frac73 < \log_74 < 4/5$%, так как $%4 < 7^{4/5}$%, а последнее следует из $%4^5=32^2 < 49^2=7^4$%. Пересечением множеств решений первого и второго неравенства будет $%x\in(0;1-\log_73]\cup[2\log_72;4/5]\cup(1;+\infty)$%.