|
Основание $%ABCD$% пирамиды $%SABCD$% - параллелограмм. Точка $%F$% - середина бокового ребра $%SB$%. На диагонали $%DB$% основания выбрана точка $%M$%, a на боковом ребре $%SC$% - точка $%N$% так, что $%AF || MN$%. Найти отношение $%\frac {MN}{AF}$%. Задачу решила методом координат (аффинная система координат). Ответ $%\frac {2}{3}$%. Может быть, кто-то может внятно подсказать, как без алгебры (геометрически) решить задачу. Спасибо. задан 10 Ноя '14 18:47 
Lyudmyla |
|
На продолжении луча $%BC$% за точку $%C$% выберем точку $%P$% такую, что $%CP=CB$%. Пусть $%M'=AP\cap DB$%. Из подобия треугольников получаем $%AM':M'P=AD:PB=1:2$%. Теперь рассмотрим треугольник $%SBP$% с медианами $%SC$% и $%PF$%. Пусть $%N'$% их точка пересечения. Тогда $%FN':N'P=1:2$% по свойству медиан. Из того, что $%AM':M'P=FN':N'P$% следует $%AF||M'N'$%. При этом $%M'\in DB$% и $%N'\in SC$%. Отсюда можно заключить, что $%M'=M$% и $%N'=N$%. Из найденных выше равенств теперь следует, что $%\frac{MN}{AF}=\frac{MP}{AP}=\frac23$%. отвечен 10 Ноя '14 22:44 
falcao @falcao, На продолжении луча BC за точку C выберем точку P такую, что CP=CB. - это использование метода гениальной догадки?...
(11 Ноя '14 15:08)
all_exist
В решении @falcao все понятно. Но КАК догадаться выбрать такую точку $%P$%, если не знать ответ? Хотя бы КАК построить рисунок к задаче, не зная ответ? Может быть, у кого-то есть методический опыт? Буду очень благодарна.
(11 Ноя '14 16:47)
Lyudmyla
1
@all_exist: здесь был поставлен вопрос о предъявлении геометрического доказательства, причём ответ был сообщён. Конечно, я его использовал в эвристической части рассуждения, выясняя, где точка находится. А потом доказал это геометрическим способом, где применены свойства медиан. В принципе, все эти построения можно оформить и так, чтобы получилась точка P, расположение которой мы не знаем. Но тогда надо было бы выписывать несколько уравнений (пусть и совсем простых на уровне x+1=3x), а этого делать не хотелось. @Lyudmyla: рисунок здесь делается с точкой P, расположенной где-то на луче.
(11 Ноя '14 17:15)
falcao
@falcao, я его использовал в эвристической части рассуждения, выясняя, где точка находится - тогда это метод подгонки под ответ... (((
(11 Ноя '14 18:34)
all_exist
@all_exist: а Вы что, вообще отрицаете полезность эвристических соображений? Ведь с математической точки зрения здесь всё корректно, это во-первых. Во-вторых, первое решение может быть получено аналитически, потом найден ответ, а потом "под него" придумано более короткое решение. Так очень часто бывает в математике: сначала кто-то находит более длинное решение, а потом более короткое. Слово "подгонка" может иметь отрицательный смысл только тогда, когда человек знал ответ (например, из конца задачника), а потом придумал неправильное, но внешне правдоподобное решение. Тогда это плохо.
(11 Ноя '14 18:40)
falcao
@falcao, Вы немного лукавите... попросили привести решение без использования аналитики, чисто геометрическое... в Вы говорите "давайте решим аналитически, а потом придумает геометрическое толкование"...
(11 Ноя '14 19:16)
all_exist
@all_exist: а в чём Вы видите "лукавство"? Я привёл решение без использования аналитики, то есть выполнил предъявленное требование. Как я сам к нему пришёл и при помощи чего -- это дело второстепенное. Кому-то могла приснится во сне верная формула (такие примеры известны), а потом человек её написал и доказал общепринятым математическим способом. Это совершенно корректный метод, равно как и нахождение подбором одного корня уравнения с последующим доказательством его единственности.
(11 Ноя '14 21:49)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Можно и без гениальной догадки: 1) Переносим параллельно треугольник ABF так, чтобы F перешла в середину SC; 2) Находим коэффициент гомотетии относительно С, чтоб A' оказалась на диагонали BD; это и будет ответ :) Для этого нужно найти отношение, в котором диагональ BD делит А'С. отвечен 11 Ноя '14 19:04 
trongsund |
|
До кучи ещё одно геометрическое рассуждение... Через $%SC$% проводим плоскость, параллельную $%AF$%, и находим её пересечение с $%BD$%, что даст точку $%M$%... и так далее...
отвечен 12 Ноя '14 20:55 
all_exist Спасибо большое! Ясное построение рисунка, откуда понятное решение!
(12 Ноя '14 23:59)
Lyudmyla
|
