Доказать, что уравнение $$x^4 + ax^3 + 2bx^2 + cx - b - \frac{1}{4} = 0$$ имеет действительные корни.

задан 11 Ноя '14 1:20

изменен 25 Янв '15 11:55

10|600 символов нужно символов осталось
4

Обозначим многочлен через $%P(x)$%. Тогда $%P\left (-\frac{1}{\sqrt 2}\right)+P\left (\frac{1}{\sqrt 2}\right)=0$%, то есть на отрезке $%\left [-\frac{1}{\sqrt 2},\frac{1}{\sqrt 2}\right]$% есть корень.

ссылка

отвечен 11 Ноя '14 2:26

изменен 11 Ноя '14 15:11

10|600 символов нужно символов осталось
3

Предположим, что действительных корней нет. Тогда многочлен представим в виде произведения двух квадратных трёхчленов с отрицательным дискриминантом: $%(x^2+p_1x+q_1)(x^2+p_2x+q_2)$%, где $%p_1^2 < 4q_1$% и $%p_2^2 < 4q_2$%.

После раскрытия скобок получится $%p_1p_2+q_1+q_2=2b$% и $%q_1q_2=-b-\frac14$%, откуда $%2q_1q_2+q_1+q_2+\frac12+p_1p_2=0$%. Это значит, что $%2(q_1+\frac12)(q_2+\frac12)+p_1p_2=0$%.

Из условий на дискриминанты имеем $%p_1^2+2 < 4(q_1+\frac12)$% и $%p_2^2+2 < 4(q_2+\frac12)$%. Перемножение неравенств с положительными числами даём $%(p_1^2+2)(p_2^2+2) < 16(q_1+\frac12)(q_2+\frac12)=-8p_1p_2$%. Применяя неравенства о среднем, имеем $%p_i^2+2\ge2\sqrt2|p_i|$% при $%i=1,2$%, откуда $%(p_1^2+2)(p_2^2+2)\ge8|p_1p_2|$%, что даёт противоречие (модуль числа меньше самого этого числа).

Возможно, есть какое-то более красивое рассуждение, но это первое, что пришло в голову.

ссылка

отвечен 11 Ноя '14 2:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,100
×950
×477

задан
11 Ноя '14 1:20

показан
12628 раз

обновлен
25 Янв '15 11:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru