|
Доказать, что уравнение $$x^4 + ax^3 + 2bx^2 + cx - b - \frac{1}{4} = 0$$ имеет действительные корни. задан 11 Ноя '14 1:20 
EdwardTurJ |
|
Обозначим многочлен через $%P(x)$%. Тогда $%P\left (-\frac{1}{\sqrt 2}\right)+P\left (\frac{1}{\sqrt 2}\right)=0$%, то есть на отрезке $%\left [-\frac{1}{\sqrt 2},\frac{1}{\sqrt 2}\right]$% есть корень. отвечен 11 Ноя '14 2:26
EdwardTurJ |
|
Предположим, что действительных корней нет. Тогда многочлен представим в виде произведения двух квадратных трёхчленов с отрицательным дискриминантом: $%(x^2+p_1x+q_1)(x^2+p_2x+q_2)$%, где $%p_1^2 < 4q_1$% и $%p_2^2 < 4q_2$%. После раскрытия скобок получится $%p_1p_2+q_1+q_2=2b$% и $%q_1q_2=-b-\frac14$%, откуда $%2q_1q_2+q_1+q_2+\frac12+p_1p_2=0$%. Это значит, что $%2(q_1+\frac12)(q_2+\frac12)+p_1p_2=0$%. Из условий на дискриминанты имеем $%p_1^2+2 < 4(q_1+\frac12)$% и $%p_2^2+2 < 4(q_2+\frac12)$%. Перемножение неравенств с положительными числами даём $%(p_1^2+2)(p_2^2+2) < 16(q_1+\frac12)(q_2+\frac12)=-8p_1p_2$%. Применяя неравенства о среднем, имеем $%p_i^2+2\ge2\sqrt2|p_i|$% при $%i=1,2$%, откуда $%(p_1^2+2)(p_2^2+2)\ge8|p_1p_2|$%, что даёт противоречие (модуль числа меньше самого этого числа). Возможно, есть какое-то более красивое рассуждение, но это первое, что пришло в голову. отвечен 11 Ноя '14 2:12 
falcao |